Simon Maier 2.5.2004
GanzrationaleFunktionenPolynomgleichungen.mcd
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2.3 Ganzrationale Funktionen / Polynomgleichungen
Ganzrationale Funktionen sind Funktionen dritten, vierten... Grades
und haben die allgemeine Form:
Der allgemeine Verlauf des Graphen hängt vom Grad der Funktion ab!
usw.
Grenzverhalten:
Das Grenzverhalten gibt an, wie sich der Graph der Funktion verhält, wenn für x Werte im positiven oder negativen Unendlichen eingestetzt werden.
Bestimmend für das Grenzverhalten sind also nur das Vorzeichen und der Exponent des
Summanden mit dem höchsten Eponenten:
Schreibweise:
und
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Grenzwert im positiven Unendlichen:
falls Exponent n geradzahlig und a positiv:
falls Exponent n geradzahlig und a negativ:
falls Exponent n nicht geradzahlig und a positiv:
falls Exponent n nicht geradzahlig und a negativ:
Grenzwert im negativen Unendlichen:
falls Exponent n geradzahlig und a positiv:
falls Exponent n geradzahlig und a negativ:
falls Exponent n nicht geradzahlig und a positiv:
falls Exponent n nicht geradzahlig und a negativ:
Nullstellen:
Eine Funktion n-ten Grades kann mit Hilfe der Nullstellen in Linearfaktoren zerlegt werden, die sich aus (x - Nullstelle) zusammensetzen
Ist eine Nullstelle mehrfach vorhanden, dann ist auch der Linearfaktor entsprechend mehrfach vorhanden! Dies gibt Auskunft über die Art der Nullstelle.
Kommt eine Nullstelle geradzahlig mal vor (Exponent des Linearfaktors geradzahlig), dann handelt es sich bei der Nullstelle um einen Berührpunkt mit der Abszisse!
Kommt eine Nullstelle ungeradzahlig mal vor (Exponent des Linearfaktors ungeradzahlig), dann handelt es sich bei der Nullstelle um einen Schnittpunkt mit der Abszisse!
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Beispiel:
Nullstellen:
Þ
Berührpunkt bei
Linearfaktorzerlegung:
Schnittpunkt bei
und bei
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