Simon
Maier 2.5.2004
Gebrochen-RationaleFunktionen.mcd
2.4 Gebrochen-Rationale
Funktionen
Eine gebrochen-rationale Funktion ist der Bruch
von zwei ganzrationalen Funktionen.
und hat die allgemeine Form:
Der Verlauf des Graphen lässt sich nicht mehr
in ein allgemeines Schema einordnen, da er von zu vielen Faktoren
abhängt!
Man unterscheidet echt und unecht gebrochen-rationale
Funktionen:
Ist der Exponent des Summanden mit dem
höchsten Exponent der Zählerfunktion kleiner als der Exponent
des Summanden mit dem höchsten Exponent der Nennerfunktion, also m < n
dann ist f(x) eine echt gebrochen-rationale
Funktion.
Ansonsten ist f(x) eine unecht gebrochen-rationale
Funktion!
Definitionsmenge:
\ {Nullstellen des Nennerpolynoms}
Grenzverhalten
(Asymptotenfunktion):
Jede unecht gebrochen-rationale
Funktion kann durch Polynomdivision in einen ganzrationalen und einen echt
gebrochen-rationalen Anteil zerlegt werden (man erhält die
Asymptotenform).
Der ganzrationale Anteil der Asymptotenform ist die
Funktion der Asymtote, deren Graph je nach Größe der
Differenz der Exponenten der Summanden mit dem höchsen Exponenten
von Zähler- und Nennerfuntionen eine Gerade, Parabel, Funktion
dritten Grades... bilden kann.
Liegt also eine unecht gebrochen-rationale
Funktion vor (m > n), gilt für
m = n
Þ
Asymptote ist horizontale Gerade
m - n =
1
Þ
Asymptote ist Gerade mit Seigung ¹ 0
m - n =
2
Þ
Asymptote ist mind. quadratischer Term
Anteil d. Asymptotenform
Liegt eine echt gebrochen-rationale
Funktion vor (m < n) gilt immer:
m < n
Þ
Asymptote ist horizontale Gerade mit
(Abszisse)
Nullstellen,
Polstellen, hebbare Definitionslücken:
Es wird eine Stelle x0 betrachtet
Ist an dieser Stelle nur eine
Zählernullstelle vorhanden, so handelt es sich nach den gleichen
Bedingungen wie bei einem Polynom um einen Schnitt-
(SP) oder Berührpunkt (BP)!
Ist an dieser Stelle eine Zähler- und eine
Nennernullstelle so handelt es sich je nach Zähler- und
Nennerexponent dieses Linearfaktors um eine hebbare Definitionslücke oder um eine Polstelle!
Sind die Exponenten gleich
Þ
hebbare Definitionslücke (nicht auf Abszisse)
Ist Zählerexponent größer Nennerexponent
-Differenz der Exponenten gerade
Þ
hebbare Definitionslücke (sieht aus wie BP)
-Differenz der Exponenten ungerade
Þ
hebbare Definitionslücke (sieht aus wie SP)
Ist Zählerexponent kleiner
Nennerexponent
-Differenz der Exponenten gerade
Þ
Polstelle ohne Vorzeichenwechsel
-Differenz der Exponenten ungerade
Þ
Polstlle mit Vorzeichenwechsel