Simon Maier 2.5.2004 Gebrochen-RationaleFunktionen.mcd
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2.4 Gebrochen-Rationale Funktionen
Eine gebrochen-rationale Funktion ist der Bruch von zwei ganzrationalen Funktionen.
und hat die allgemeine Form:
Der Verlauf des Graphen lässt sich nicht mehr in ein allgemeines Schema einordnen, da er von zu vielen Faktoren abhängt!
Man unterscheidet echt und unecht gebrochen-rationale Funktionen:
Ist der Exponent des Summanden mit dem höchsten Exponent der Zählerfunktion kleiner als der Exponent des Summanden mit dem höchsten Exponent der Nennerfunktion, also m < n dann ist f(x) eine echt gebrochen-rationale Funktion.
Ansonsten ist f(x) eine unecht gebrochen-rationale Funktion!
Definitionsmenge:
\ {Nullstellen des Nennerpolynoms}
Grenzverhalten (Asymptotenfunktion):
Jede unecht gebrochen-rationale Funktion kann durch Polynomdivision in einen ganzrationalen und einen echt gebrochen-rationalen Anteil zerlegt werden (man erhält die Asymptotenform).
Der ganzrationale Anteil der Asymptotenform ist die Funktion der Asymtote, deren Graph je nach Größe der Differenz der Exponenten der Summanden mit dem höchsen Exponenten von Zähler- und Nennerfuntionen eine Gerade, Parabel, Funktion dritten Grades... bilden kann.
Liegt also eine unecht gebrochen-rationale Funktion vor (m > n), gilt für
m = n
Þ
Asymptote ist horizontale Gerade
m - n = 1
Þ
Asymptote ist Gerade mit Seigung ¹ 0
m - n = 2
Þ
Asymptote ist mind. quadratischer Term
Anteil d. Asymptotenform
Liegt eine echt gebrochen-rationale Funktion vor (m < n) gilt immer:
m < n
Þ
Asymptote ist horizontale Gerade mit
(Abszisse)
Nullstellen, Polstellen, hebbare Definitionslücken:
Es wird eine Stelle x0 betrachtet
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Ist an dieser Stelle nur eine Zählernullstelle vorhanden, so handelt es sich nach den gleichen Bedingungen wie bei einem Polynom um einen Schnitt- (SP) oder Berührpunkt (BP)!
Ist an dieser Stelle eine Zähler- und eine Nennernullstelle so handelt es sich je nach Zähler- und Nennerexponent dieses Linearfaktors um eine hebbare Definitionslücke oder um eine Polstelle!
Sind die Exponenten gleich
Þ
hebbare Definitionslücke (nicht auf Abszisse)
Ist Zählerexponent größer Nennerexponent
-Differenz der Exponenten gerade
Þ
hebbare Definitionslücke (sieht aus wie BP)
-Differenz der Exponenten ungerade
Þ
hebbare Definitionslücke (sieht aus wie SP)
Ist Zählerexponent kleiner Nennerexponent
-Differenz der Exponenten gerade
Þ
Polstelle ohne Vorzeichenwechsel
-Differenz der Exponenten ungerade
Þ
Polstlle mit Vorzeichenwechsel
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