Christoph Knollhuber 24.4.2004 ebenen.mcd
3.2. Ebenen im Raum:
Eine Ebene kann durch einen Aufpunkt ap und zwei Richtungsvektoren rv1 und rv2 oder
einen Aufpunktvektor ap und einen Normalenvektor n, der auf beiden Richtungsvektoren
senkrecht steht eindeutig beschrieben werden.

Folgende Gleichungen beschreiben eindeutig eine Ebene im Raum:
Normalenvektor n steht
senkrecht auf rv1 und rv2
1. Punkt-Richtungs-Form
2. Normalenform
wobei:
3. Koordinatenform (ergibt sich durch Ausmultiplizieren der Normalenform)
man erhält folgende Form:
Umformung von Koordinaten- in die Punktrichtungsform
Normalenvektor aus der Koordinatenform ablesen, einen Aufpunktvektor
berechnen --> Normalenform
dann:
wobei rv1 und rv2 nicht parallel sein dürfen,
ap von Normalenform
jetzt Punkt-Richtungs-Form:
Abstandsberechnung Punkt - Ebene:
(Abstand einer parallelen Gerade oder Ebene Analog - als Punkt Aufpunkt verwenden!)
Hesse Normalenform:
wobei:
wenn nicht dann:
x = Koordinaten
des Punktes
nur wichtig zur Lagebestimmung
Punkt - Ursprung zu Ebene
Ursprung und Punkt liegen auf der selben Seite der Ebene
Ursprung und Punkt liegen auf verschiedenen Seiten der Ebene
Berechnung der Schnittgeraden:
(Ebene geschnitten mit Ebene)
Bei beiden Gleichungen das selbe x = 0 setzen und ausmultiplizieren
--> LGS mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten --> eindeutige Lösung
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