Eva Weißmüller 29.3.2005 S530Binomialverteilung.mcd
Die Binomialverteilung
Während die Bernoulli-Experimente im Hinblick auf die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten behandelt wurden, werden jetzt übergeordnete Eigenschaften untersucht.
Man betrachtet eine Bernoulli-Kette der Länge n und wählt die Anzahl der erzielten Treffer als Zufallsgröße X. Dann nimmt X die Zufallswerte 0, 1, 2, 3, ...,n an. Werden diesen endlich vielen Zufallswerten x ihre Wahrscheinlichkeit B( n ; p ; x) zugeordnet, mit der sie angenommen werden, erklärt man dadurch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion.
Aus diesem Zusammenhang mit dem binomischen Satz ergibt sich folgende Definition:
Def.: Die Funktion B, die jedem Zufallswert X nach der Vorschrift

B: x B(n ; p ; x) = mit x {0 , 1 , 2 , 3 , ....,n}

eine Wahrscheinlichkeit zuordnet, heißt die Binomialverteilung der Zufallsgröße X
mit den Parametern n und p.
Bsp.: In einer Urne befinden sich 20 rote und 10 blaue Kugeln, von denen 6 Stück
mit Zurücklegen gezogen werden. Es interessiert uns die Anzahl der gezogenen roten Kugeln.
Berechnet wird die Binomialverteilung für diese Bernoulli-Kette:
Aus den Angaben ergibt sich p = ; man erhält folgende Binomialverteilung:
B: B(6 ; ; x) = mit x = 0, 1, 2, ...,6
Anhand der Binomialverteilung lässt sich eine Wertetabelle erstellen:
x                       0        1       2       3        4        5        6

B(6 ; ; x)                 
Mit folgendem Satz lassen sich bei binomisch verteilten Zufallsgrößen relativ einfach Erwartungswert und Varianz berechnen:
Satz: Für binomisch verteilte Zufallsgrößen gilt:

Erwartungswert m =

Standardabweichung s =