Eva
Weißmüller
29.3.2005 S530Binomialverteilung.mcd
Die Binomialverteilung
Während die Bernoulli-Experimente im Hinblick
auf die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten behandelt wurden, werden
jetzt übergeordnete Eigenschaften untersucht.
Man betrachtet eine Bernoulli-Kette
der Länge n und wählt die Anzahl der erzielten Treffer als
Zufallsgröße X.
Dann nimmt X die Zufallswerte 0, 1, 2, 3, ...,n an. Werden diesen
endlich vielen Zufallswerten x ihre Wahrscheinlichkeit B( n ; p ; x)
zugeordnet, mit der sie angenommen werden, erklärt man dadurch
eine Wahrscheinlichkeitsfunktion.
Aus diesem Zusammenhang mit dem binomischen Satz
ergibt sich folgende Definition:
Def.: Die Funktion B, die jedem
Zufallswert X nach der Vorschrift
B: x
B(n ; p ; x) =
mit x
{0 , 1 , 2 , 3 , ....,n}
eine Wahrscheinlichkeit zuordnet, heißt die
Binomialverteilung der Zufallsgröße X
mit den Parametern n und p.
Bsp.: In einer Urne befinden sich 20 rote und 10
blaue Kugeln, von denen 6 Stück
mit Zurücklegen gezogen werden. Es
interessiert uns die Anzahl der gezogenen roten Kugeln.
Berechnet wird die Binomialverteilung für
diese Bernoulli-Kette:
Aus den Angaben ergibt sich p =
; man erhält folgende Binomialverteilung:
B: B(6
;
; x)
=
mit
x = 0, 1, 2, ...,6
Anhand der Binomialverteilung lässt sich eine
Wertetabelle erstellen:
x
0
1
2 3
4 5
6
B(6 ;
; x)
Mit folgendem Satz lassen sich bei binomisch
verteilten Zufallsgrößen relativ einfach Erwartungswert und
Varianz berechnen:
Satz: Für binomisch verteilte
Zufallsgrößen gilt:
Erwartungswert m =
Standardabweichung s =