MK 16.1.2005 LP_M_FOS11T_A2.mcd

Lehrplan Mathematik FOS Technik 11. Jahrgangstufe - Analysis (2)

Analysis Teil 1

11.1 Grundbegriffe bei reellen Funktionen

11.2 Grenzwert und Stetigkeit

Analysis Teil 2

11.3 Differenzialrechnung

11.4 Lineare Gleichungssysteme

Lerngebiete:


11.1 Grundbegriffe bei reellen Funktionen   35 Std.

11.2 Grenzwert und Stetigkeit                      14 Std.

11.3 Differenzialrechnung                             45 Std.

11.4 Lineare Gleichungssysteme                 20 Std.

                                                                     114 Std

11.3 Differenzialrechnung

11.3.1

LERNZIELE: Anhand einfacher Funktionen erfahren die Schülerinnen und Schüler die Grundbegriffe der Differenzialrechnung. Sie üben sich darin, zu untersuchen, ob eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist

und welchen Wert die Ableitung hat. Sie erlernen das Aufstellen der Gleichungen von Tangente und Normale

im Punkt eines Graphen und lernen den Begriff der Ableitungsfunktion kennen. Neben der geometrischen

Betrachtung (Sekante, Tangente) erkennen sie die Ableitung als lokale Änderungsrate einer physikalischen

Größe.

LERNINHALTE: Differenzenquotient

Differenzialquotient

Differenzierbarkeit

Ableitung einer Funktion an einer Stelle

Bestimmung der Ableitungsfunktionen

für , mit n € N,

unter Verwendung des Differenzenquotienten


Tangente und Normale

Unterschiedliche Schreibweisen:

HINWEISE ZUM UNTERRICHT:

Es sollen keine abschnittsweise definierten Funktionen

mit dem Differenzenquotienten untersucht werden.

Die Bedeutung der Ableitung als lokale Änderungsrate

einer Größe lässt sich u. a. durch folgende Beispiele verdeutlichen:

Geschwindigkeitsfunktion als Ableitungsfunktion der Ortsfunktion

Momentangeschwindigkeit

Momentanbeschleunigung

Leistung

Kraft

Strom

Zusammenhang zwischen den Graphen von Funktion und Ableitungsfunktion

(Erweiterung der Physik der Mittelstufe)

Durch Darstellung der Graphen von Funktion und Ableitungsfunktion mit Hilfe des Computers kann die

Änderung einzelner Parameter und deren Auswirkung anschaulich gemacht werden.

Passende Dateien:

8.1 Grundlagen

8.1.1 Tangentenproblem.mcd Hinführung zur Problematik des Differenzierens

8.1.2 DiffbarkeitGrundlagen.mcd Grundlegendes, Ableitungsfunktion

8.1.3 DiffbarkeitGrundlagen_Ueb.mcd Übungen dazu

8.1.4 Differentiationxhochn.mcd Beweis für Ableitung von x hoch n

8.1.14 D1_von_Puttenham_nach_Bergham.mcd Ausführliche Einf. Tangentenproblem/Differentialquotient (1)

8.1.15 D2_Steigungen.mcd Ausführliche Einführung Tangentenproblem/Differentialquotient (2)

8.1.16 D3_GrenzwertSteigung.mcd Ausführliche Einführung Tangentenproblem/Differentialquotient (3)

8.1.17 D4_DeutscheBuschtrommel.mcd Ausführliche Einführung Tangentenproblem/Differentialquotient (4)

8.1.18 D5_Momgeschw.mcd Ausführliche Einführung Tangentenproblem/Differentialquotient (5)

11.3.2

LERNZIELE: Die Schülerinnen und Schüler lernen die Ableitungsregeln kennen und gewinnen Sicherheit in ihrer Anwendung.

LERNINHALTE: Ableitung einer Funktion mit konstantem Faktor

Summenregel

Ableitung der Polynomfunktionen

HINWEISE ZUM UNTERRICHT:

Passende Dateien:

8.1.5 Differentiationsregeln_1.mcd Additive Konstante, konstanter Faktor, Summe von Funktionen

8.1.6 Differentiation_Ueb_1.mcd Übungen dazu: Additive Konstante, konst. Faktor, Summe von Funktionen

8.1.7 Differentiation_Ueb_2.mcd Übungen dazu: Additive Konstante, konst. Faktor, Summe von Funktionen

8.1.8 Differentiation_Ueb_2a_Untersuch.mcd Untersuchung einfacher zusammengesezter Funktionen

8.1.10 Ableitung_Ueb.mcd Übungen 1., 2. und 3. Ableitung

8.1.11 Ableitung_Ueb2.mcd Übungen Ableitungen, auch trigonometrische Funktionen

11.3.3

LERNZIELE: Die Schülerinnen und Schüler erkennen den Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion.

LERNINHALTE: Stetigkeit als notwendige Voraussetzung für Differenzierbarkeit

Ableitung von abschnittsweise definierten Funktionen ohne Parameter

HINWEISE ZUM UNTERRICHT:

Die Existenz von ist hinreichend für die Differenzierbarkeit einer stetigen Funktion an der Stelle x0.

Zusammengesetzte Bewegungsvorgänge aus der Physik

11.3.4

LERNZIELE: Zunächst vergleichen die Schülerinnen und Schüler die Funktionseigenschaften „streng monoton zunehmend (abnehmend) in einem Intervall“ und „positive (negative) Ableitung in einem Intervall“ miteinander und grenzen diese gegeneinander ab.

LERNINHALTE: Monotoniedefinition

Monotoniekriterium

Bestimmung der maximalen Intervalle in der Definitionsmenge, in denen ein Graph streng monoton steigt bzw. fällt

HINWEISE ZUM UNTERRICHT: Beispiele für Probleme bei Monotonieuntersuchungen: Trotz negativer Ableitung ist die Funktion f: x-->nicht in IR/{0}, sondern in IR- sowie in IR+ streng monoton abnehmend.

Die Funktion f: x--> ist in IR streng monoton zunehmend, obwohl gilt.

Anwendungen: z. B. Anstieg der Lebenshaltungskosten

Passende Dateien:

10.1.1 Monotonie_Int.mcd Monotonie und maximale Monotonieintervalle

10.1.4 MonoEx_Ueb.mcd Übung: Monotonieintervalle und Extrempunkte

11.3.5

LERNZIELE: Die Schülerinnen und Schüler erfahren, dass zwischen den Funktionen

und

ein analoger Zusammenhang besteht wie zwischen den Funktionen f und

, und erkennen die Bedeutung

des Vorzeichens von

für den Verlauf des Graphen von f.

LERNINHALTE: Links- und Rechtskrümmung

Maximale Intervalle in der Definitionsmenge, in denen der Graph links- bzw. rechtsgekrümmt ist


Zusammenhang zwischen den Graphen von s(t) und a(t) bei beschleunigten Bewegungen

HINWEISE ZUM UNTERRICHT: Interpretation der

positiven bzw. negativen zweiten Ableitung als Zunahme bzw. Abnahme der Steigung eines Funktionsgraphen

Anwendungen: z. B. Verminderung des Anstiegs der Lebenshaltungskosten

Passende Dateien:

10.1.7 ZweiteAbleitung.mcd Höhere Ableitungen einer Funktion

10.1.8 SteigungKruemmung.mcd Zu was kann man es brauchen?

8.2.8 Fun_ab_Ueb.mcd Skizzieren abgeleiteter Funktionen: f, f ', f ''

8.2.8a Fun_ab_auf_Ueb.mcd Skizzieren abgeleiteter und aufgeleiteter Funktionen: f, f ', f ''

11.3.6

LERNZIELE: Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten Kriterien für die Extrempunkte eines Graphen und deren

Art sowie Kriterien für Wendepunkte und Terrassenpunkte.

LERNINHALTE: Definition des Begriffes „Extrempunkt“ ohne Voraussetzung der Differenzierbarkeit

Hinreichendes Kriterium für Extrempunkte bei einmal bzw. mindestens zweimal differenzierbaren Funktionen

Wendestellen als eigentliche Extremstellen

HINWEISE ZUM UNTERRICHT:

von

Hinreichendes Kriterium für Wendepunkte bei zweimal bzw. mindestens dreimal differenzierbaren Funktionen.

Randextrema, absolute Extrema

Passende Dateien:

10.1.2 Extremwerte.mcd Minima und Maxima

10.1.3 Randextremwerte.mcd Die Berücksichtigung der Ränder am Beispiel

10.1.5 RandAbsEx_Ueb.mcd Übung Randextremwerte und absolute Extremwerte

10.1.6 RandAbsEx_Ueb_2.mcd Übung Randextremwerte und absolute Extremwerte

11.3.7

LERNZIELE: Die Schülerinnen und Schüler gewinnen Sicherheit in der Kurvendiskussion ganzrationaler

Funktionen

LERNINHALTE: Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen und einparametriger Funktionenscharen

Aufstellen eines Funktionsterms bei vorgegebenen Eigenschaften

HINWEISE ZUM UNTERRICHT: Der Einfluss eines Scharparameters auf den Verlauf des Graphen kann mit Computerprogrammen veranschaulicht werden.

Passende Dateien:

10.1.10 Kurvendiskussion_Pol.mcd Ein einfaches Beispiel zu einer Kurvendiskussion

10.1.11 Kurv-O-mat_1.mcd Kurvendiskussion automatisiert

10.1.12 Kurvendisk_autom_i.mcd Programmierte Kurvendiskussion mit Beispielen

10.2 Polynomfunktionen

10.2.1 Extremwerte_Ueb_1.mcd Übung: relative Extrempunkte

10.2.2 Extremwerte_Ueb_2.mcd Übung: absolute Extrempunkte

10.2.3 Kurvendisk_Pol_Ueb_1.mcd Übung: Kurvendiskussion vollständig

10.2.4 Kurvendisk_Pol_Ueb_2.mcd Übung: Vermischtes

10.2.5 Kurvendisk_Pol_Ueb_3.mcd Übung: Funktionsgleichung aus Eigenschaften

10.2.6 Kurvendisk_Pol_Ueb_4.mcd Übung: Kurvendiskussion mit Parameter

11.4 Lineare Gleichungssysteme

LERNZIELE: Die Schülerinnen und Schüler beherrschen verschiedene Lösungsmethoden linearer Gleichungssysteme sicher und lernen, entsprechende Anwendungsaufgaben zu lösen.

LERNINHALTE:

Additionsverfahren

Determinanten von 2 x 2 und 3 x 3 Matrizen


Regel von Sarrus zur Berechnung dreireihiger Determinanten

Kriterium für die eindeutige Auflösbarkeit (Cramer`sche Regel)

HINWEISE ZUM UNTERRICHT:


Es genügt, das Berechnungsverfahren für Determinanten exemplarisch herzuleiten.

Gauß`scher Algorithmus


Ermittlung der Lösungsmenge exakt bestimmter, überbestimmter und unterbestimmter linearer Gleichungssysteme

Es genügt, Gleichungssysteme mit höchstens 4 Unbekannten zu behandeln.

Die Vorteile und Grenzen beider Lösungsmethoden sollen deutlich gemacht werden. Beim Lösen linearer Gleichungssysteme entwickeln die Schülerinnen und Schüler algorithmisches Denken unter Verwendung von Taschenrechner oder Computer.

Auch anwendungsorientierte Aufgaben behandeln

Lösung linearer Gleichungssysteme mit einem Parameter

Passende Dateien:

5.1 LineareGleichungssysteme.mcd Grundlegendes

5.2 unter_ueberbestLGS.mcd Welche Ungereimtheiten gibt es?

5.3 MethodenLGS_1.mcd Einsetz- und Gleichsetzverfahren

5.4 MethodenLGS_2.mcd Determinatenverfahren nach Cramer

5.5 MethodenLGS_3.mcd Additionsverfahren (Gauss-Algorithmus)

5.6 LGS_Ueb.mcd Ein paar ausführliche Beispiele

5.7 LGS_Para_Ueb.mcd Lineare Gleichungssysteme mit Parameter

5.8 unterbestLGS_Ueb.mcd Übung: Unterbestimmte Gleichungssysteme

5.9 LGS_Generator.mcd Zufallszahlengesteuerter Aufgabengenerator

5.10 LGSGen_deLuxe.mcd LGS-Aufgabengenerator de Luxe - auch für Parameterlösungen

5.11 FGleichausPunktenGanzrat2.mcd Funktionsgleichung einer Parabel aus gegebenen Punkten

5.12 FGleichausPunktenGanzrat3.mcd Funktionsgleichung einer Parabel 3. Grades aus gegebenen Punkten

5.13 LGSLoeser Lösungsautomat für lineare Gleichungssysteme