MK 20.6.2010 B0_12NT_A1_MK_Loes.mcd
Abschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern
Mathematik 2010 Analysis A1 Ausbildungsrichtung
Nichttechnik
1.0 Gegeben sind die reellen Funktionen
mit Dfa= R und a
R.
5
1.1 Ermitteln Sie in Abhängigkeit von a die
Anzahl, Lage und Vielfachheiten der Nullstellen von fa.
1. Fall:
2 NS
bei
(doppelt, BP) und bei
(doppelt, BP)
2. Fall:
2 NS
bei
(einfach, SP) und bei
(dreifach, SP)
3. Fall:
3 NS
bei
(einfach, SP) und bei
(doppelt, BP) und bei
(einfach, SP)
Fälle:
1.5+1.5+2BE
NS:
1BE
Vielfache: je
0.5BE
Anzahl: nix
Keine FU: 1.5BE
3
1.2 Bestimmen Sie a
R
so,dass der Punkt P( 4 /
)
auf dem Graphen der Funktion fa liegt.
1BE
1BE
1BE
2.0 Nun wird
gesetzt. Die Funktion f3 wird im folgenden kurz mit f
bezeichnet.
Es gilt
3
2.1 Zeigen Sie, dass sich die Funktion f auch in
der Form
darstellen lässt.
3BE
x in beide Klammern oder Betrugsversuch: -1BE
9
2.2 Ermitteln Sie Art und Koordinaten der
relativen Extrempunkte des Graphen der Funktion f.
1BE
0.5BE
1.5BE
1.5BE
0.5BE
0.5BE
0.5BE
0.5BE
Vorzeichenfeld:
0.5BE
2BE
f ' + - + -
steigen fallen steigen fallen
0.5+0.5+0.5BE
Maximum Min Max
0.5+0.5+0.5BE
HP( 1/ 4), TP( 3.75/ -0.549), HP( 5/ 0)
0.5+0.5+0.5BE
4
2.3 Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f im
Bereich
mit Hilfe vorliegender #
Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein.
Maßstab auf beiden Achsen: 1LE = 1cm.
4
2.4 Der Graph der Funktion f und die x-Achse
schließen im 4. Quadranten ein Flächenstück ein.
Berechnen Sie die Maßzahl des
Flächeninhaltes auf zwei Nachkommastellen genau.
= [
]
0.5BE
1BE
1BE
=
1.5BE
- oder ||: -0.5BE
3.0 Forscher untersuchten jeweils fünf Tage
lang das Wachstum von Bakteriensorten. Hierbei ergab sich, dass
die von den Bakterien bedeckte Fläche
annähernd durch die reelle Funktion
A: t -->
mit a, b, c
R
und t
[
0; 5]
beschrieben werden kann, wobei A(t) die bedeckte
Fläche (in mm2) zum Zeitpunkt t (in Tagen)
bezeichnet.
Bei einer bestimmten Sorte war zu Beginn des
Untersuchungszeitraumes ( t=0) die von den Bakterien
bedeckte Fläche 1mm2
groß. Nach zwei Tagen hat der Bestand sein Maximum mit 5mm2
erreicht.
6
3.1 Bestimmen Sie die Koeffizienten a, b und c und
damit A(t).
[ Ergebnis:
]
1BE
1BE
1BE
I
1BE
II
1BE
I:
III
III-IV:
1BE
in IV:
1BE
II:
IV
2
3.2 Berechnen Sie die von den Bakterien nach drei
Stunden bedeckte Fläche gerundet auf eine
Nachkommastelle genau.
1.5mm2
5
3.3 Ermitteln Sie die Wendestelle
der Funktion A und interpretieren Sie das Ergebnis im Sinne der vor-
liegenden Thematik. (Was kann man zu diesem
Zeitpunkt über das Wachstum der Bakterien aussagen?)
0.5+1BE
1BE
WP
1+0.5BE
Die momentane Abnahme der Fläche ist am
größten z.Z. t=tw
1BE
3
3.4 Zeichnen Sie für t
[
0; 5] den Graphen der Funktion A mit Hilfe vorliegender Ergebnisse.
4.0 Ein Schildkrötenbesitzer baut für
seine
Landschildkröte ein Terrarium mit einem
quaderförmigen lichdurchlässigen Dach
der
Länge 2a der Breite a und der Höhe h.
Dieses
wird auf ein geeignetes Fundament gesetzt.
Die lichdurchlässige Oberfläche soll 4m2
betragen.
Führen Sie die folgenden Berechnungen ohne
Einheiten durch.
4
4.1 Bestimmen Sie das Volumen V(a) des Daches in
Abhängigkeit von a. [ Ergebnis:
]
0.5BE
1+0.5BE
1BE
in V:
1BE
5
4.2 Bestimmen Sie eine sinnvolle Definitionsmenge
Dv der Funktion V: a --> V(a) für den in 4.0 gegebenen
Sachzusammenhang (.. für die Breite der
Schildkrötenbehausung).
Wir verlangen aber lediglich:
und
1BE
1BE
1BE
D
= ] 0;
[
1BE
7
4.3 Ermitteln Sie a so, dass das Volumen des
Daches den größten Wert annimmt. Berechnen Sie hierfür
auch die zugehörige Höhe h.
1BE
1BE
scheidet aus
1BE
1BE
1BE
a --> 0; a -->
-------------------------> 0
1BE
oder: V ist in D stetig und hat nur ein Extremum
1BE
B0_12NT_A1_MK_Schildkroete