MK 20.6.2010 B0_12NT_A1_MK_Loes.mcd
Abschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern
Mathematik 2010 Analysis A1 Ausbildungsrichtung Nichttechnik
1.0 Gegeben sind die reellen Funktionen mit Dfa= R und a R.
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1.1 Ermitteln Sie in Abhängigkeit von a die Anzahl, Lage und Vielfachheiten der Nullstellen von fa.
1. Fall: 2 NS bei (doppelt, BP) und bei (doppelt, BP)
2. Fall: 2 NS bei (einfach, SP) und bei (dreifach, SP)
3. Fall: 3 NS bei (einfach, SP) und bei (doppelt, BP) und bei (einfach, SP)
Fälle: 1.5+1.5+2BE
NS: 1BE
Vielfache: je 0.5BE
Anzahl: nix
Keine FU: 1.5BE
3
1.2 Bestimmen Sie a R so,dass der Punkt P( 4 / ) auf dem Graphen der Funktion fa liegt.
1BE
1BE
1BE
2.0 Nun wird gesetzt. Die Funktion f3 wird im folgenden kurz mit f bezeichnet.
Es gilt
3
2.1 Zeigen Sie, dass sich die Funktion f auch in der Form
darstellen lässt.
3BE
x in beide Klammern oder Betrugsversuch: -1BE
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2.2 Ermitteln Sie Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte des Graphen der Funktion f.
1BE
0.5BE
1.5BE
1.5BE
0.5BE
0.5BE
0.5BE
0.5BE
Vorzeichenfeld:
0.5BE
2BE
f ' + - + -
steigen fallen steigen fallen
0.5+0.5+0.5BE
Maximum Min Max
0.5+0.5+0.5BE
HP( 1/ 4), TP( 3.75/ -0.549), HP( 5/ 0)
0.5+0.5+0.5BE
4
2.3 Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f im Bereich mit Hilfe vorliegender #
Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein. Maßstab auf beiden Achsen: 1LE = 1cm.
4
2.4 Der Graph der Funktion f und die x-Achse schließen im 4. Quadranten ein Flächenstück ein.
Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhaltes auf zwei Nachkommastellen genau.
= [
]
0.5BE
1BE
1BE
=
1.5BE
- oder ||: -0.5BE
3.0 Forscher untersuchten jeweils fünf Tage lang das Wachstum von Bakteriensorten. Hierbei ergab sich, dass
die von den Bakterien bedeckte Fläche annähernd durch die reelle Funktion
A: t --> mit a, b, c R und t [ 0; 5]
beschrieben werden kann, wobei A(t) die bedeckte Fläche (in mm2) zum Zeitpunkt t (in Tagen) bezeichnet.
Bei einer bestimmten Sorte war zu Beginn des Untersuchungszeitraumes ( t=0) die von den Bakterien
bedeckte Fläche 1mm2 groß. Nach zwei Tagen hat der Bestand sein Maximum mit 5mm2 erreicht.
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3.1 Bestimmen Sie die Koeffizienten a, b und c und damit A(t).
[ Ergebnis: ]
1BE
1BE
1BE
I
1BE
II
1BE
I:
III
III-IV:
1BE
in IV:
1BE
II:
IV
2
3.2 Berechnen Sie die von den Bakterien nach drei Stunden bedeckte Fläche gerundet auf eine
Nachkommastelle genau.
1.5mm2
5
3.3 Ermitteln Sie die Wendestelle der Funktion A und interpretieren Sie das Ergebnis im Sinne der vor-
liegenden Thematik. (Was kann man zu diesem Zeitpunkt über das Wachstum der Bakterien aussagen?)
0.5+1BE
1BE
WP
1+0.5BE
Die momentane Abnahme der Fläche ist am größten z.Z. t=tw
1BE
3
3.4 Zeichnen Sie für t [ 0; 5] den Graphen der Funktion A mit Hilfe vorliegender Ergebnisse.
4.0 Ein Schildkrötenbesitzer baut für seine
Landschildkröte ein Terrarium mit einem
quaderförmigen lichdurchlässigen Dach der
Länge 2a der Breite a und der Höhe h. Dieses
wird auf ein geeignetes Fundament gesetzt.
Die lichdurchlässige Oberfläche soll 4m2
betragen.
Führen Sie die folgenden Berechnungen ohne
Einheiten durch.
4
4.1 Bestimmen Sie das Volumen V(a) des Daches in Abhängigkeit von a. [ Ergebnis: ]
0.5BE
1+0.5BE
1BE
in V:
1BE
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4.2 Bestimmen Sie eine sinnvolle Definitionsmenge Dv der Funktion V: a --> V(a) für den in 4.0 gegebenen
Sachzusammenhang (.. für die Breite der Schildkrötenbehausung).
Wir verlangen aber lediglich:
und
1BE
1BE
1BE
D = ] 0; [
1BE
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4.3 Ermitteln Sie a so, dass das Volumen des Daches den größten Wert annimmt. Berechnen Sie hierfür
auch die zugehörige Höhe h.
1BE
1BE
scheidet aus
1BE
1BE
1BE
a --> 0; a -->
-------------------------> 0
1BE
oder: V ist in D stetig und hat nur ein Extremum
1BE
B0_12NT_A1_MK_Schildkroete.gxt
B0_12NT_A1_MK_Schildkroete
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