MK 03.12.2008 B0_12T_A1_MK_Ang.mcd
Abschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern
Mathematik 2010 Analysis A1 Ausbildungsrichtung Technik
1.0 Gegeben ist die reelle Funktion
in ihrer größtmöglichen Definitionsmenge Df.
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1.1 Zeigen Sie, dass Df = ]
; -1[ gilt, und berechnen Sie den exakten Wert der Nullstelle der Funktion f.
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1.2 Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte f(x) an den Rändern der Definitionsmenge.
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1.3 Bestimmen Sie über die maximalen Monotonieintervalle Art und Lage des Extremalpunktes des
Graphen von f.
[ Teilergebnis:
]
3
1.4 Bestimmen Sie die Wertemenge der Funktion f mithilfe bisheriger Ergebnisse.
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1.5 Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten des Graphen von f und ermitteln Sie die exakten Koordinaten
seines Wendepunktes W.
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1.6 Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente t an den Graph von f im Punkt W und berechnen Sie
ihren Schnittpunkt mit der x-Achse.
[ Teilergebnis: t:
]
4
1.7 Zeichnen Sie mithilfe der vorliegenden Ergenisse den Graph der Funktion f und die Tangente t
für
in ein kartesisches Koordinatensystem mit dem Maßstab 1 LE = 1 cm
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1.8 Im zweiten Quadranten liegt ein Punkt P( k / f(k) ) auf dem Graph von f, dessen Koordinaten die
Bedingung
erfüllen. Entnehmen Sie Ihrem Graph einen geeigneten Startwert
und
berechnen Sie mit Hilfe des Newton-Verfahrens einen Näherungswert für die Stelle k. Führen Sie zwei
Näherungsschritte durch und geben Sie ihre Ergebnisse auf drei Nachkommastellen gerundet an.
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1.9 Zeigen Sie, dass die Funktion
in ihrer Definitionsmenge DF = Df
eine Stammfunktion der Funktion f ist, und berechnen Sie den Flächeninhalt des Flächenstückes, das
vom Graph von f, der Tangente t und der y-Achse eingeschlossen wird. Runden Sie das Ergebnis auf
drei Nachkommastellen.
2.0 Das Hinterrad eines Traktors übt auf den Ackerboden an der Oberfläche einen Druck von
Pa
aus. Der Druck nimmt mit zunehmender Tiefe unter der Oberfläche ab und beträgt in 1 m Tiefe nur noch
ein Viertel des Wertes an der Oberfläche.
Für die Abhängigkeit des Drucks p in Pascal (Pa) von der Tiefe x in Meter gilt in einem mathematischen
Modell die Funktionsgleichung
, wobei
und a, b
R.
Auf das Mitführen der Einheiten kann verzichtet werden.
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2.1 Bestimmen Sie die Parameterwerte a und b. [ Ergebnis:
und
]
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2.2 Stellen Sie den Druck p in Abhängigkeit von der Tiefe x für
graphisch dar.
Wählen Sie dazu einen geeigneten Maßstab.
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2.3 Entnehmen Sie Ihrem Diagramm die ungefähre Tiefe, in der der Druck halb so groß ist wie an der
Oberfläche, und berechnen Sie dann diese Tiefe genau.
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2.4 Berechnen Sie die lokale Änderungsrate des Drucks in 0,50 m Tiefe.
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2.5 Bestimmen Sie, in welcher Tiefe die lokale Änderungsrate des Drucks betragsmäßig am größten ist,
und berechnen Sie diese lokale Änderungsrate.
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