Abschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern

MK 03.12.2008 B0_12T_A1_MK_Loes.mcd

Abschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern
Mathematik 2010 Analysis A1 Ausbildungsrichtung Technik

1.0 Gegeben ist die reelle Funktion

in ihrer größtmöglichen Definitionsmenge D_f.

1.1 Zeigen Sie, dass D_f = ]

; -1[ gilt, und berechnen Sie den exakten Wert der Nullstelle der Funktion f.

Nenner:

ln:

1 > x

D_f = ]

; -1[

1BE

0.5BE

1BE

1.2 Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte f(x) an den Rändern der Definitionsmenge.

l'Hosp

2BE

x -->

h -->0

x --> 1^- :

-------------->

" =

2BE

1.3 Bestimmen Sie über die maximalen Monotonieintervalle Art und Lage des Extremalpunktes des
Graphen von f.

-1 fehlt
-1BE

auch 1.9

[ Teilergebnis:

]

2BE

0.5BE

oder VZfeld

> 0

0.5BE

VZW von f' bei x = 0 von steigen auf fallen => Hochpunkt

1BE

HP ( 0 / 4)

1BE

f ' (x) > 0 für x < 0 und f ' (x) < 0 für 0 < x < 1

G_f ist smost in ] - ¥; 0] und G_f ist smofa in [ 0; 1[

2BE

1.4 Bestimmen Sie die Wertemenge der Funktion f mithilfe bisheriger Ergebnisse.

f ist stetig in D und an den Rändern des Definitionsbereiches geht f(x) gegen 0 oder

also ist das Maximum ein absolutes Maximum
und somit W = ]

; 4 ]

ohne Blabla

3BE

1.5 Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten des Graphen von f und ermitteln Sie die exakten Koordinaten
seines Wendepunktes W.

2BE

1BE

> 0

analog f ' ' (x) < 0 für

1BE

f ' ' (x) > 0 für

also ist G_f konkav - linksgekrümmt in ] - ¥;

]
und f ' ' (x) < 0 für

also ist G_f konvex - rechtsgekrümmt in [

; 1[

2BE

VZW von f ' ' bei

Wendepunkt

1BE

W (

)

1.6 Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente t an den Graph von f im Punkt W und berechnen Sie
ihren Schnittpunkt mit der x-Achse.

[ Teilergebnis: t:

]

1BE

2BE

1.7 Zeichnen Sie mithilfe der vorliegenden Ergenisse den Graph der Funktion f und die Tangente t
für

in ein kartesisches Koordinatensystem mit dem Maßstab 1 LE = 1 cm

3+1BE

1.8 Im zweiten Quadranten liegt ein Punkt P( k / f(k) ) auf dem Graph von f, dessen Koordinaten die
Bedingung

erfüllen. Entnehmen Sie Ihrem Graph einen geeigneten Startwert

und
berechnen Sie mit Hilfe des Newton-Verfahrens einen Näherungswert für die Stelle k. Führen Sie zwei
Näherungsschritte durch und geben Sie ihre Ergebnisse auf drei Nachkommastellen gerundet an.

1BE

einfach f
benutzt:
-2BE

1BE

2+
2BE

1.9 Zeigen Sie, dass die Funktion

in ihrer Definitionsmenge D_F = D_f
eine Stammfunktion der Funktion f ist, und berechnen Sie den Flächeninhalt des Flächenstückes, das
vom Graph von f, der Tangente t und der y-Achse eingeschlossen wird. Runden Sie das Ergebnis auf
drei Nachkommastellen.

2BE

1BE

2.0 Das Hinterrad eines Traktors übt auf den Ackerboden an der Oberfläche einen Druck von

Pa
aus. Der Druck nimmt mit zunehmender Tiefe unter der Oberfläche ab und beträgt in 1 m Tiefe nur noch
ein Viertel des Wertes an der Oberfläche.
Für die Abhängigkeit des Drucks p in Pascal (Pa) von der Tiefe x in Meter gilt in einem mathematischen
Modell die Funktionsgleichung

, wobei

und a, b

R.
Auf das Mitführen der Einheiten kann verzichtet werden.

2.1 Bestimmen Sie die Parameterwerte a und b. [ Ergebnis:

und

]

1BE

2.2 Stellen Sie den Druck p in Abhängigkeit von der Tiefe x für

graphisch dar.
Wählen Sie dazu einen geeigneten Maßstab.

2.3 Entnehmen Sie Ihrem Diagramm die ungefähre Tiefe, in der der Druck halb so groß ist wie an der
Oberfläche, und berechnen Sie dann diese Tiefe genau.

1BE