Abschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern
Mathematik 2010 Analysis A1 Ausbildungsrichtung Technik
1.1 Zeigen Sie, dass Df = ]
; -1[ gilt, und berechnen Sie den exakten Wert der Nullstelle der Funktion f.
1.3 Bestimmen Sie über die maximalen Monotonieintervalle Art und Lage des Extremalpunktes des
Graphen von f.
f ist stetig in D und an den Rändern des Definitionsbereiches geht f(x) gegen 0 oder 
also ist das Maximum ein absolutes Maximum
1.5 Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten des Graphen von f und ermitteln Sie die exakten Koordinaten
seines Wendepunktes W.
f ' ' (x) > 0 für 
also ist Gf konkav - linksgekrümmt in ] - ¥; 
]
und f ' ' (x) < 0 für 
also ist Gf konvex - rechtsgekrümmt in [ 
; 1[
1.6 Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente t an den Graph von f im Punkt W und berechnen Sie
ihren Schnittpunkt mit der x-Achse.
1.7 Zeichnen Sie mithilfe der vorliegenden Ergenisse den Graph der Funktion f und die Tangente t
für 
in ein kartesisches Koordinatensystem mit dem Maßstab 1 LE = 1 cm
1.8 Im zweiten Quadranten liegt ein Punkt P( k / f(k) ) auf dem Graph von f, dessen Koordinaten die
Bedingung 
erfüllen. Entnehmen Sie Ihrem Graph einen geeigneten Startwert 
und
berechnen Sie mit Hilfe des Newton-Verfahrens einen Näherungswert für die Stelle k. Führen Sie zwei
Näherungsschritte durch und geben Sie ihre Ergebnisse auf drei Nachkommastellen gerundet an.
1.9 Zeigen Sie, dass die Funktion 
in ihrer Definitionsmenge DF = Df
eine Stammfunktion der Funktion f ist, und berechnen Sie den Flächeninhalt des Flächenstückes, das
vom Graph von f, der Tangente t und der y-Achse eingeschlossen wird. Runden Sie das Ergebnis auf
drei Nachkommastellen.
2.0 Das Hinterrad eines Traktors übt auf den Ackerboden an der Oberfläche einen Druck von 
Pa
aus. Der Druck nimmt mit zunehmender Tiefe unter der Oberfläche ab und beträgt in 1 m Tiefe nur noch
ein Viertel des Wertes an der Oberfläche.
Für die Abhängigkeit des Drucks p in Pascal (Pa) von der Tiefe x in Meter gilt in einem mathematischen
Modell die Funktionsgleichung 
, wobei 
und a, b
R.
Auf das Mitführen der Einheiten kann verzichtet werden.
2.2 Stellen Sie den Druck p in Abhängigkeit von der Tiefe x für 
graphisch dar.
Wählen Sie dazu einen geeigneten Maßstab.
2.3 Entnehmen Sie Ihrem Diagramm die ungefähre Tiefe, in der der Druck halb so groß ist wie an der
Oberfläche, und berechnen Sie dann diese Tiefe genau.
VZW von f' bei x = 0 von steigen auf fallen => Hochpunkt
f ' (x) > 0 für x < 0 und f ' (x) < 0 für 0 < x < 1
G
VZW von f ' ' bei 
Wendepunkt
/ 
)
] 
An der Stelle xw ist ein Minimum von p' (x).
Das Min ist absolut