MK 16.12.2008 B0_12T_A1_MK_Ang.mcd

Abschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern
Mathematik 2010 Analysis A2 Ausbildungsrichtung Technik

1.0 Gegeben sind die reellen Funktionen in der vom Parameter a R
unabhängigen Definitionsmenge D_fa = R \ {0}.

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1.1 Ermitteln Sie Anzahl und Lage der Nullstellen der Funktion f_a in Abhängigkeit von a.

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1.2 Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte f_a(x) in der Nähe der Definitionslücke sowie
für |x|--> . Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten an.

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1.3 Bestimmen Sie in Abhängigkeit von a die jeweils maximalen Monotonieintervalle der Funktion f_a,
geben Sie diejenigen Werte von a an, für die der jeweilige Graph von f_a einen Extrempunkt hat,
und emitteln Sie dessen Art und Lage in Abhängigkeit von a.
Hinweis: Unterscheiden Sie die Fälle a = 0, a > 0 und a < 0.

[ mögliches Teilergebnis: ]

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1.4 Untersuchen Sie, für welche a der Graph von f_a einen Wendepunkt besitzt, und bestimmen Sie dessen
Koordinaten in Abhängigkeit von a.

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1.5 Setzen Sie nun a = 1 und zeichnen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und weiterer
geeigneter Funktionswerte für den Graphen von f₁ mit seinen Asymptoten in ein
kartesisches Koordinatensystem mit dem Maßstab 1 LE = 1 cm.

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1.6 Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente t im Punkt P(1; f₁(1) ) an den Graphen von f₁ und
zeichnen Sie die Tangente t in das Diagramm der Aufgabe 1.5 ein.

[ mögliches Teilergebnis: t: ]

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1.7 Für schließen die Gerade mit der Gleichung x = k, der Graph von f₁ und die Tangente t ein
endliches Flächenstück A_k ein.
Markieren Sie dieses Flächenstück für k = 0,5 im Diagramm der Aufgabe 1.5 und zeigen Sie, dass
für den Flächeninhalt A(k) der Fläche A_k in Abhängigkeit von k gilt:

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1.8 Beweisen Sie zunächst, dass gilt: . Untersuchen Sie, ob der Grenzwert
existiert, und erklären Sie, was Ihr Ergebnis geometrisch bedeutet.

2.0 Ein Doppelschicht-Kondensator ist entsprechend der
gegebenen Schaltung mit einer Gleichspannungsquelle
verbunden, die eine konstante Spannung liefert.
Der Widerstand des Stromkreises beträgt .
Wird zum Zeitpunkt der Schalter S geschlossen,
beginnt der Kondensator sich aufzuladen. Der zeitliche
Verlauf der am Kondensator anliegenden Spannung wird
beschrieben durch die Gleichung:
, wobei .

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2.1 Berechnen Sie und erklären Sie die Bedeutung dieses Grenzwerts.

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2.2 Erstellen Sie eine Wertetabelle für die Kondensatorspannung U_C(t) sowie für die am Widerstand R
anliegende Spannung U_R(t) für s mit einer Schrittweite von Dt = 20s und stellen Sie
und in einem gemeinsamen Diagramm graphisch dar.
Hinweis: Offensichtlich gilt zu jedem Zeitpunkt
Maßstäbe: 1cm entspricht 10s bzw. 1V.

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2.3 Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate der Spannung U_C zur Zeit t₀=0 sowie ihren Grenzwert
für t --> .
Stellen Sie eine Gleichung der (einseitigen) Tangente an den Graphen von U_C im Ursprung auf und
zeichnen Sie diese Tangente in das Diagramm der Aufgabe 2.2 ein.

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2.4 In dem gegebenen Stromkreis gilt für die Stromstärke I in Abhängigkeit von der Zeit t die Gleichung:

Stellen Sie in einem neuen Diagramm die Stromstärke I in Abhängigkeit von der Zeit t graphisch dar.

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2.5 Die Stromstärke I ist definiert als die Ableitung der transportierten Ladung Q nach der Zeit t:
.

Ermitteln Sie eine Gleichung, die den zeitlichen Verlauf der Ladung Q(t) des Kondensators angibt,
berechnen Sie Q( 60s) und veranschaulichen Sie diesen Wert im Diagramm der Aufgabe 2.4.
Berechnen Sie außerdem .

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