MK 16.12.2008 B0_12T_A1_MK_Loes.mcd
Abschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern
Mathematik 2010 Analysis A2 Ausbildungsrichtung Technik
1.0 Gegeben sind die reellen Funktionen
in
der vom Parameter a
R
unabhängigen Definitionsmenge Dfa =
R \ {0}.
4
1.1 Ermitteln Sie Anzahl und Lage der Nullstellen
der Funktion fa in Abhängigkeit von a.
Nenner:
Doppelte Polstelle bei
Zähler:
(1) D < 0 für
=> keine NS
1BE
(2) D = 0 für
=> eine doppelte NS bei
1BE
(3) D < 0 für
=> zwei einfache NS:
2BE
6
1.2 Untersuchen Sie das Verhalten der
Funktionswerte fa(x) in der Nähe der
Definitionslücke sowie
für |x|-->
.
Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten an.
|x| -->
:
2BE
=> horizontale Asy
1BE
h -->0
x --> 0:
-------------->
2BE
=> vertikale Asy
1BE
14
1.3 Bestimmen Sie in Abhängigkeit von a die
jeweils maximalen Monotonieintervalle der Funktion fa,
geben Sie diejenigen Werte von a an, für die
der jeweilige Graph von fa einen Extrempunkt hat,
und emitteln Sie dessen Art und Lage in
Abhängigkeit von a.
Hinweis:
Unterscheiden Sie die Fälle a = 0, a > 0 und a < 0.
[ mögliches Teilergebnis:
]
1BE
1BE
Nenner < 0 für x < 0 und Nenner > 0
für x > 0
1BE
Zähler:
-¥ 2/a 0 ¥
Zähler + - -
Nenner - - +
(1) a
< 0:
=>
1BE
=> fa' (x) < 0 für
oder für
=> Gfa smofa in ]
;
]
sowie in ] 0;
[
=> Gfa smost in [
;
0 [ => VZW (fallen --> steigen) bei
=> TP(
;
)
3BE
-¥ 0 ¥
Zähler - -
Nenner - +
(2) a =
0:
1BE
=> fa' (x) < 0 für
=> Gfa smofa in ] 0;
[
=> Gfa smost in ]
;
0 [ aber 0
Df
=> kein Extrempunkt
2BE
-¥ 0 2/a ¥
Zähler - + +
Nenner - - +
(3) 0
< a:
=>
1BE
=> fa' (x) < 0 für
=> Gfa smofa in ] 0;
]
=> Gfa smost in in ]
;
0[ sowie in [
;
[
=> VZW (fallen --> steigen) bei
=> TP(
;
)
3BE
5
1.4 Untersuchen Sie, für welche a der Graph
von fa einen Wendepunkt besitzt, und
bestimmen Sie dessen
Koordinaten in Abhängigkeit von a.
1.5BE
1BE
=> WP bei
für
1.5BE
WP(
;
)
1BE
4
1.5 Setzen Sie nun a = 1 und zeichnen Sie unter
Verwendung der bisherigen Ergebnisse und weiterer
geeigneter Funktionswerte für
den Graphen von f1 mit seinen Asymptoten in ein
kartesisches Koordinatensystem mit dem
Maßstab 1 LE = 1 cm.
3+1BE
3
1.6 Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente t im
Punkt P(1; f1(1) ) an den Graphen von f1
und
zeichnen Sie die Tangente t in das Diagramm der
Aufgabe 1.5 ein.
[ mögliches Teilergebnis: t:
]
1BE
=>
=>
1BE
1BE
5
1.7 Für
schließen die Gerade mit der Gleichung x = k, der Graph von f1
und die Tangente t ein
endliches Flächenstück Ak
ein.
Markieren Sie dieses Flächenstück
für k = 0,5 im Diagramm der Aufgabe 1.5 und zeigen Sie, dass
für den Flächeninhalt A(k) der
Fläche Ak in Abhängigkeit von k gilt:
1BE
= [
]
1+1BE
2BE
=
6
1.8 Beweisen Sie zunächst, dass gilt:
.
Untersuchen Sie, ob der Grenzwert
existiert, und erklären Sie, was Ihr Ergebnis geometrisch bedeutet.
l'Hosp
2BE
1BE
Das Flächenstück ist nicht endlich.
2+1BE
2.0 Ein Doppelschicht-Kondensator ist entsprechend
der
gegebenen Schaltung mit einer
Gleichspannungsquelle
verbunden, die eine konstante Spannung
liefert.
Der Widerstand des Stromkreises beträgt
.
Wird zum Zeitpunkt
der Schalter S geschlossen,
beginnt der Kondensator sich aufzuladen. Der
zeitliche
Verlauf der am Kondensator anliegenden Spannung
wird
beschrieben durch die Gleichung:
, wobei
.
3
2.1 Berechnen Sie
und
erklären Sie die Bedeutung dieses Grenzwerts.
2BE
Die Kondensatorspannung nähert sich der
angelegten Spannung.
1BE
5
2.2 Erstellen Sie eine Wertetabelle für die
Kondensatorspannung UC(t) sowie
für die am Widerstand R
anliegende Spannung UR(t)
für
s
mit einer Schrittweite von Dt = 20s
und stellen Sie
und
in
einem gemeinsamen Diagramm graphisch dar.
Hinweis: Offensichtlich gilt zu jedem Zeitpunkt
Maßstäbe: 1cm
entspricht 10s bzw. 1V.
=>
1BE
1BE
1.5+1.5BE
5
2.3 Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate
der Spannung UC zur
Zeit t0=0
sowie ihren Grenzwert
für t -->
.
Stellen Sie eine Gleichung der (einseitigen)
Tangente an den Graphen von UC
im Ursprung
auf und
zeichnen Sie diese Tangente in das Diagramm der
Aufgabe 2.2 ein.
1BE
Tangente:
2BE
1BE
1BE
3
2.4 In dem gegebenen Stromkreis gilt für die
Stromstärke I in Abhängigkeit von der Zeit t die Gleichung:
Stellen Sie in einem neuen Diagramm die
Stromstärke I in Abhängigkeit von der Zeit
t graphisch dar.
3BE
7
2.5 Die Stromstärke I ist definiert als die
Ableitung der transportierten Ladung Q nach der Zeit t:
.
Ermitteln Sie eine Gleichung, die den zeitlichen
Verlauf der Ladung Q(t) des Kondensators angibt,
berechnen Sie Q(
60s) und veranschaulichen
Sie diesen Wert im Diagramm der Aufgabe 2.4.
Berechnen Sie außerdem
.
= [
]
=
3BE
1BE
1BE
1BE
Maximalladung des Kondesators
1BE
__
70
=> 
=> VZW für alle 
+ "
"
= 
