GS 22.05.2010 m10_13nta1_aufg.xmcd

Abschlussaufgabe 2010 - 13 Nichttechnik - A I - Aufgabe

Teilaufgabe 1.0

Gegeben ist die Funktion in der maximalen Definitionsmenge IR .

Teilaufgabe 1.1 (8 BE)

Bestimmen Sie und die Nullstelle von f und geben Sie Art der Definitionslücken von f an.

Teilaufgabe 1.2 (4 BE)

Zeigen Sie, dass die Funktion mit \ {1,5} die stetige Fortsetzung von f ist,

und ermitteln Sie die Intervalle, für die gilt: bzw. .

Teilaufgabe 1.3 (5 BE)

Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten des Graphen von an, zeichnen Sie die Asymptoten

in ein Koordinatensystem und skizzieren Sie mithilfe der bisherigen Ergebnisse den Graphen

von in das Koordinatensystem.

Teilaufgabe 1.4 (5 BE)

Zeigen Sie, dass sich der Term von in der Form darstellen lässt und be-

rechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts der Fläche, die von der y-Achse, den Geraden

und und begrenzt wird.

Teilaufgabe 2.0

Nun ist die Funktion in der maximalen Definitionsmenge IR gegeben.

Ihr Graph ist .

Teilaufgabe 2.1 (2 BE)

Begründen Sie gegebenenfalls unter Verwendung von Aufgabe 1.2, dass gilt: \ [ 0 ; 1,5 ]

Teilaufgabe 2.2 (4 BE)

Untersuchen Sie das Verhalten von g an den Rändern von .

Teilaufgabe 2.3 (4 BE)

Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von an und berechnen Sie die Nullstelle von g.

Teilaufgabe 2.4 (7 BE)

Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle von .

(Zur Kontrolle:

Teilaufgabe 3.0

Für die erprobung eines neuen Medikaments wird im Labor die Entwicklung einer Pilzkultur in einer

Nährlösung unter dem Einfluss des Medikaments beobachtet. Man stellt fest, dass sich die Anzahl N

der Pilze in Abhängigkeit von der Zeit t in Stunden (h) durch folgende mathematische Funktion

näherungsweise beschreiben lässt:

mit

Dabei bedeutet die anfänglich vorhandene Anzahl an Pilzen.

Für die Rechnungen kann auf die Verwendung von Benennungen verzichtet werden.

Teilaufgabe 3.1 (2 BE)

Die erste Zählung ergibt nach 30 Minuten 1745 Pilze. Bestimmen Sie damit die Anfangszahl .

(Ergebnis: )

Teilaufgabe 3.2 (5 BE)

Berechnen Sie den Zeitpunkt, an dem die maximale Anzahl von Pilzen vorhanden ist und bestimmen

Sie diese maximale Anzahl.

(Zur Kontrolle: )

Teilaufgabe 3.3 (6 BE)

Berechnen Sie den Zeitpunkt , an dem die Kultur am stärksten wächst und den Zeitpunkt , an

dem die Kultur am stärksten abnimmt und geben Sie die Bedeutung dieser beiden Zeitpunkte für den

Graphen dieser beiden Zeitpunkte für den Graphen der Funktion N an.

Teilaufgabe 3.4 (4 BE)

Bestimmen Sie den Zeitpunkt, ab dem die Pilzkultur völlig abgestorben ist, das heißt weniger als ein Pilz

vorhanden ist.

Teilaufgabe 3.5 (4 BE)

Skizzieren Sie den Graphen von N unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordi-

natensystem.

( Maßstab: 1 cm entspricht 0,5 h; 1cm entspricht 1000 Pilze)

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