Abschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern Mathematik mit CAS 2016 Analysis A1 Ausbildungsrichtung Technik

MK 1.7.2016 B6_12T_A1_CAS_MK_Loes.xmcd

1.0 Gegeben sind die reellen Funktionen f_a: x -->

in der vom Parameter a R unab-

hängigen Definitionsmenge D_fa = R \ { 5}. Der Graph einer solchen Funktion wird mit G_a bezeichnet.

1.1 Bestimmen Sie in Abhängigkeit von a die Anzahl und Lage der Nullstellen von f_a .

CAS

1+1BE

je Fall 1BE

(1) Fall:

hebbare Defl. bei x = 5;

1 einfache NS (mit VZW)

bei

(2) Fall:

hebbare Defl. bei x = 5;

1 einfache NS (mit VZW)

bei

(3) Fall:

keine hebbare Defl.;

1 doppelte NS (ohne VZW)

bei

(4) Fall:

alles andere

keine hebbare Defl.;

2 einfache NS (mit VZW)

bei

1.2 Berechnen Sie den Wert von a, für welche die Gerade mit der Gleichung Tangente

des Graphen G_a an der Stelle ist.

CAS

auflösen

1BE

CAS

0.5BE

=> Nur kommt in Frage!

0.5BE

1.3 Der Graph G_f4,5 der Funktion f_4,5 mit der Gleichung

schließt mit seiner

Tangente h aus Aufgabe 1.2 und der x-Achse im ersten Quadranten eine Fläche ein. Skizzieren Sie

den Verlauf des Graphen der Funktion f_4,5 und der Tangente h in einem gemeinsamen Koordinaten-

system. Markieren Sie diese Fläche in Ihrer Skizze und berechnen Sie deren Flächenmaßzahl exakt.

CAS

auflösen

1BE

(1.1)

CAS

1BE

oder Intergral

3+1BE

CAS

2BE

CAS

1BE

20BE

1.4.0 Für die nun folgenden Aufgaben wird die Funktion g mit maximaler Definitionsmenge

D_g = ] -2; 4[ ] 5; [ und der Funktionsgleichung

betrachtet,

das heißt, es gilt:

1.4.1 Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte g(x) an den Rändern des Definitionsbereiches und

geben Sie die Gleichungen aller senkrechten Asymptoten des Graphen von g an.

CAS

1+1+1BE

senkrechte Asys

0.5+0.5+0.5BE

CAS

0.5BE

1.4.2 Bestimmen Sie ohne CAS die maximalen Monotonieintervalle von g und ermitteln Sie mithilfe dieser

Monotonieintervalle die Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte des Graphen von g.

Verwenden Sie dabei, dass für x D_g gilt: > 0.

Runden Sie die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.

[ Mögliches Teilergebnis:

]

2+1BE

1BE

Nenner in D_g positiv, siehe Angabe

- 0 + xxx + +

- - xxx - 0 +

+ 0 - xxx - 0 +

1BE

Mit D => G_g ist smost in ] -2; 2.4] sowie in [ 7.6; [

2BE

G_g ist smofa in [ 2.4; 4[ sowie in ] 5; 7.6]

(gerundet)

steigen dann fallen bei 2.4 => Bei 2.4 ist ein HoP

fallen dann steigen bei 7.6 => Bei 7.6 ist ein TiP

2BE

35BE

1.4.3 Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion g und zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen

Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen von g für zusammen mit

seinen senkrechten Asymptoten in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab: 1 LE = 1 cm

CAS

auflösen

CAS

1BE

HT, TP

1BE

1.5+3.5BE

42BE

2.0 Beginn des 20. Jahrhunderts führt der vom Menschen verursachte zusätzliche Ausstoß von

Kohlenstoffdioxid (CO₂) zu einer Verstärkung des Treibhauseffektes, das heißt zu einem globalen

Temperaturanstieg mit weitreichenden Folgen.

Nach einem mathematischen Modell soll die Entwicklung der weltweiten CO₂-Emissionenen

abgeschätzt werden. Dieses Modell lässt sich näherungsweise durch die mathematische Funktion

k: t--> mit t, a, b R und , , darstellen.

Dabei entspricht k(t) der CO₂-Emissionsrate in Mrd. Tonnen pro Jahr zum Zeitpunkt t, wobei t

die seit Beginn des Jahres 1950 vergangene Zeit in Jahren beschreibt. Unter der CO₂-Emissionsrate

wird dabei im Folgenden die ausgestoßene Masse an CO₂ pro Zeiteinheit verstanden.

Auf das Mitführen der Einheiten kann bei den Berechnungen verzichtet werden.

2.1 Nach diesem Szenario lag die CO₂-Emissionsrate zu Beginn des Jahres 2000 bei genau 30 Mrd.

Tonnen pro Jahr und zu Beginn des Jahres 2200 wird sie bei genau 17,5 Mrd liegen. Bestimmen Sie

mithilfe dieser Angaben ohne CAS die Parameter a und b der Funktion k auf drei Nachkommastellen

gerundet.

1BE

I:II

1BE

in I:

1BE

2.2.0 Im Folgenden gilt a = 0,025 und b = 0,020.

Alle folgende Ergebnisse sind ggf. auf eine Nachkommastelle zu runden.

2.2.1 Bestimmen Sie die nach diesem Modell prognostizierte CO₂-Emissionsrate zu Beginn des

Jahres 2017.

0.5+1.5BE

CAS

Mrd Tonnen im Jahr

2.2.2 Berechnen Sie den Zeitpunkt t, zu dem die absolut maximale CO₂-Emissionsrate zu erwarten ist.

]

[ Kein Teilergebnis ]

CAS

auflösen

1+2BE

CAS

0.5+0.5+1BE

=> Das absolute Maximum wäre also nach 100Jahren (in 2050).

1BE

56BE

2.2.3 Zeichnen Sie mithilfe der bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen

der Funktion k für (die Jahre 1950 bis 2200) in ein Koordinatensystem.

Maßstab: t-Achse: 50 Jahre = 2cm; k-Achse: 10 Mrd. Tonnen/Jahr = 2cm

1+3BE

2.2.4 Ermitteln Sie rechnerisch, in welchem Jahr zwischen 1950 und heute der Zeitpunkt liegt, an dem die

CO₂-Emissionsrate nach diesem Modell am meisten zugenommen hat.

CAS

auflösen

1+2+1BE

CAS

=> Das absolute Max. der Zunahme ist bei

1BE

=> Die Schlote rauchten 1979 am stärksten.

1BE

2.2.5 Ohne Stammfunktion

Bestimmen Sie, wie viele Tonnen CO₂ voraussichtlich im Jahr 2016 insgesamt ausgestoßen werden,

wenn das obige Modell zugrunde gelegt wird.

CAS

3+1BE

Zum Vergleich der einfache Mittelwert:

3BE

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