MK 1.7.2016 B6_12T_A1_MK_Loes.xmcd

Abschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern Mathematik 2016 Analysis A1 Ausbildungsrichtung Technik

1.0 Gegeben sind die reellen Funktionen fa: x -->

in der vom Parameter a R unab-

=

hängigen Definitionsmenge Dfa = R \ { 5}. Der Graph einer solchen Funktion wird mit Ga bezeichnet.

5

1.1 Bestimmen Sie in Abhängigkeit von a die Anzahl der Nullstellen von fa.

1BE

(1) Fall:

=>

=>

hebbare Defl. bei x = 5;

1 einfache NS (mit VZW)

(2) Fall:

=>

hebbare Defl. bei x = 5;

1 einfache NS (mit VZW)

(3) Fall:

=>

=>

keine hebbare Defl.;

1 doppelte NS (ohne VZW)

(4) Fall:

alles andere

=>

keine hebbare Defl.;

2 einfache NS (mit VZW)

je Fall 1BE

6

1.2 Berechnen Sie sämtliche Werte von a, für welche die Steigung des Graphen Ga an der Stelle

den Wert besitzt.

2BE

1BE

1BE

1+1BE

1.3.0 Für die nun folgenden Aufgaben wird die Funktion g mit maximaler Definitionsmenge Dg R und der

Funktionsgleichung

betrachtet, d.h. es gilt

4

1.3.1 Zeigen Sie, dass für den maximalen Definitionsbereich Dg der Funktion g gilt: Dg = ] -2; 4[ ] 5; [

- 0 + + +

- - 0 + +

3BE

- - - 0 +

=>

Dg = ] -2; 4[ ] 5; [

1BE

- 0 + 0 - nd +

15BE

8

1.3.2 Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte g(x) an den Rändern des Definitionsbereiches und

geben Sie die Gleichungen aller senkrechten Asymptoten des Graphen von g an.

senkrechte Asys

1+0.5+0.5BE

1+0.5+0.5BE

1+0.5+0.5BE

1+1BE

10

1.3.3 Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle von g und ermitteln Sie mithilfe dieser

Monotonieintervalle die Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte des Graphen von g.

Verwenden Sie dabei, dass für x Dg gilt: > 0.

Runden Sie die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.

[ Mögliches Teilergebnis:

]

2+1BE

1BE

1BE

Nenner in D positiv, siehe Angabe

- 0 + xxx + +

- - xxx - 0 +

+ 0 - xxx - 0 +

1BE

Mit D => Gg ist smost in ] -2; 2.4] sowie in [ 7.6; [

2BE

Gg ist smofa in [ 2.4; 4[ sowie in ] 5; 7.6]

(gerundet)

steigen dann fallen bei 2.4 => Bei 2.4 ist ein HoP

fallen dann steigen bei 7.6 => Bei 7.6 ist ein TiP

2BE

33BE

6

1.3.4 Die Funktion g besitzt näherungsweise die beiden Nullstellen und ( Nachweis

nicht erforderlich). Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter

Funktionswerte den Graphen von g für zusammen mit seinen senkrechten Asymptoten in ein

kartesisches Koordinatensystem. Maßstab: 1 LE = 1 cm

HT, TP

1BE

1.5+3.5BE

2.0 Beginn des 20. Jahrhunderts führt der vom Menschen verursachte zusätzliche Ausstoß von

Kohlenstoffdioxid (CO2) zu einer Verstärkung des Treibhauseffektes, das heißt zu einem globalen

Temperaturanstieg mit weitreichenden Folgen.

Nach einem mathematischen Modell soll die Entwicklung der weltweiten CO2-Emissionenen

abgeschätzt werden. Dieses Modell lässt sich näherungsweise durch die mathematische Funktion

k: t--> mit t, a, b R und , , darstellen.

Dabei entspricht k(t) der CO2-Emissionsrate in Mrd. Tonnen pro Jahr zum Zeitpunkt t, wobei

die seit Beginn des Jahres 1950 vergangene Zeit in Jahren beschreibt. Unter der CO2-Emissionsrate

wird dabei im Folgenden die ausgestoßene Masse an CO2 pro Zeiteinheit verstanden.

Auf das Mitführen der Einheiten kann bei den Berechnungen verzichtet werden.

6

2.1 Nach diesem Szenario lag die CO2-Emissionsrate zu Beginn des Jahres 2000 bei genau 30 Mrd.

Tonnen pro Jahr und zu Beginn des Jahres 2200 wird sie bei genau 17,5 Mrd liegen. Bestimmen Sie

mithilfe dieser Angaben die Parameter a und b der Funktion k auf drei Nachkommastellen gerundet.

=>

1BE

I:II

=>

1BE

1BE

=>

=>

in I:

1BE

1BE

45BE

1BE

2.2.0 Im Folgenden gilt a = 0,025 und b = 0,020.

Alle folgende Ergebnisse sind gegenenfalls auf eine Nachkommastelle zu runden.

2

2.2.1 Bestimmen Sie die nach diesem Modell prognostizierte CO2-Emissionsrate zu Beginn des

Jahres 2017.

0.5+1.5BE

Mrd Tonnen

8

2.2.2 Berechnen Sie den Zeitpunkt tm, zu dem die absolut maximale CO2-Emissionsrate zu erwarten ist.

[ Mögliches Teilergebnis:

]

2BE

1+1+0.5+0.5BE

>0

>0

(e-Funktion überwiegt)

0.5+0.5+1BE

=> Das absolute Maximum wäre also nach 100Jahren (in 2050).

1BE

4

2.2.3 Zeichnen Sie mithilfe der bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen

der Funktion k für (die Jahre 1950 bis 2200) in ein Koordinatensystem.

Maßstab: t-Achse: 50 Jahre = 2cm; k-Achse: 10 Mrd. Tonnen/Jahr = 2cm

HP

1+3BE

59BE

7

2.2.4 Ermitteln Sie rechnerisch, in welchem Jahr zwischen 1950 und heute der Zeitpunkt liegt, an dem die
CO2-Emissionsrate nach diesem Modell am meisten zugenommen hat.

2BE

1BE

>0

>0

1BE

0.5+0.5BE

=> Das absolute Max. der Zunahme ist bei

1BE

=> Die Schlote rauchten 1979 am stärksten.

1BE

4

2.2.5 Die Funktion K: t-->

mit und t R ist eine

Stammfunktion von k (Nachweis nicht erforderlich).

Bestimmen Sie, wie viele Tonnen CO2 voraussichtlich im Jahr 2016 insgesamt ausgestoßen werden, wenn das obige Modell zugrunde gelegt wird.

= [ K(t)]

=

1BE

1BE

2BE

__

70

Zum Vergleich:

3BE

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