Abschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern Mathematik mit CAS 2016 Analysis A2 Ausbildungsrichtung Technik
1.1 Bestimmen Sie ohne CAS die maximale Definitionsmenge Df. Geben Sie die Definitionslücke
von f und ihre Art genau an.
1.2 Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte f(x) an den Rändern der Definitionmenge Df.
Geben Sie die Art und die Gleichungen der daraus folgenden Asymptoten des Graphen von f an.
Zeigen Sie ohne weitere Rechnung, dass der Graph von f seine horizontale Asymptote nicht schneidet.
1.3 Bestimmen Sie ohne CAS die maximalen Monotonieintervalle von f und ermitteln Sie mithilfe dieser
Monotonieintervalle die Art und Koordinaten des relativen Extrempunktes des Graphen von f.
1.4 Zeichnen Sie mithilfe der bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen
der Funktion f für 
sowie mit Farbe sämtliche Asymptoten von Gf in ein kartesisches
Koordinatensystem. Maßstab: 1 LE = 2 cm.
1.5 Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente t an Gf, die durch den Ursprung verläuft. Zeichnen Sie
die Tangente t in das Koordinatensystem von Teilaufgabe 1.4 ein.
1.6 Die Tangente t schneidet Gf imPunkt S( xs; f(xs)). Berechnen Sie mithilfe des Newton-Verfahrens einen
Näherungswert für die Schnittstelle xs > 3.
genau genug, wenn sich der Funktionswert von f(x) und t(x) um höchstens 0,01 unterscheiden.
Berechnen Sie xs auch mithilfe des CAS und geben Sie die relative Abweichung (in %) der Ergebnisse
von Newton-Verfahren und CAS an.
1.8.0 Der Graph von f, die Tangente t und die Gerade ka mit der Gleichung x = a mit a 
R 
0<a<1
schließen rechts von ka ein endliches Flächenstück mit der von a abhängigen Maßzahl A(a) des
Flächeninhalts ein.
1.8.1 Kennzeichnen Sie dieses Flächenstück für a = 0,25 in Ihrem Schaubild aus 1.4 und zeigen Sie, dass
wobei c 
R 
c< -1. Geben Sie an, wie sich der Graph von gc im Vergleich zu Gf verändert, und
begründen Sie das.
c = -10 ist der Graph ist nur 1/10 so groß
c= -0,5 ist er doppelt so groß
und jeweils an der Abszisse gespiegelt
2.0 In einer Box werden Mehlwürmer als Futter für Schildkröten gezüchtet. Der Bestand der Mehlwürmer
in dieser Box wird in Kilogramm [kg] angegeben und nach einem Modell durch die Funktion
M: t-->
mit t,a, b
R und 
, 
, 
beschrieben. Dabei gibt t die Zeit in Tagen [d]
ab Beobachtungsbeginn an.
Zum Zeitpunkt t = 0 werden 0,8 kg Mehlwürmer in die Box eingesetzt. Exakt drei Tage später hat
sich ihr Bestand um 2,79 kg vermehrt.
Auf das Mitführen der Einheiten kann bei den Berechnungen verzichtet werden. Alle Ergebnisse sind
gegebenenfalls auf eine Nachkommastelle zu runden.
2.1 Bestimmen Sie die Werte der Parameter a und b.
Für die folgenden Teilaufgaben gilt: a = 0,8 und b = 0,5.
2.2 Berechnen Sie die mittlere Zuwachsrate des Mehlwürmerbestands in den ersten vier Tagen des
Beobachtungszeitraums.
2.4.0 Durch M(t) wie im obigen Modell wird der Bestand an Mehlwürmern nur für wenige Tage hinreichend
genau beschrieben. Der tatsächliche Bestand wird durch die Funktion p: t--> 
mit t, S
R und 
, 
besser erfasst.
Im Diagramm sind die Graphen von M und p abgebildet.
2.4.1 Entnehmen Sie dem Verlauf von Gp den maximalen Bestand an Mehlwürmern, die in der Box leben
können, und folgern Sie hieraus auf den Wert von S.
einsetzen:
