Abschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern NACHTERMIN
Mathematik mit CAS 2016 Analysis A Ausbildungsrichtung Technik
1.1 Untersuchen Sie ohne CAS das Verhalten der Funktionswerte f(x) an den Rändern der Definitionsmenge
auch mit den Regeln von l'Hospital, falls erforderlich. Geben Sie die Gleichung der waagrechten
Asymptote des Graphen von f an.
1.3 Schließen Sie aus den bisherigen Ergebnissen auf die x-Koordinate des Terrassenpunktes T. Zeigen
Sie, dass der Graph von f keinen weiteren WENDEpunkt besitzt.
Da bei x = 2 eine doppelte Nullstelle der 1. Ableitung vorliegt, muss es sich um einen Terassenpunkt handeln.
1.4 Die Tangente t an Gf im Punkt B( xB| f(xB) schneidet die x-Achse an der Stelle xS = 2.
Stellen Sie eine Gleichnung von t auf.
1.5 Zeichnen Sie mithilfe der bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen
von f für 
sowie mit Farbe die Asymptote von Gf in ein kartesisches Koordinatensystem.
Tragen Sie zudem die Tangente t aus 1.4 in das Koordinatensystem ein.
Maßstab: 1 LE = 1 cm.
1.7 Der Graph von f, die Tangente t aus 1.4 und die Gerade mit der Gleichung x = r mit r 
R und r > 2
schließen zusammen mit der x-Achse im 1. Quadranten ein endliches Flächenstück ein.
Kennzeichnen Sie dieses Flächenstück in Ihrem Schaubild aus 1.5 für r = 6 und berechnen Sie dann r
auf zwei Nachkommstellen gerundet so, dass die Maßzahl des Flächeninhalts des betrachteten
Flächenstücks 13 beträgt.
1.8 Begründen Sie ohne weitere Rechnung ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
a) Der Graph der Stammfunktion F von f ist in DF = R streng monoton fallend.
b) Der Graph der Funktion F besitzt an der Stelle 
einen Wendepunkt.
a) Da f(x) ausschließlich oberhalb der x-Achse verläuft, ist F(x) in R streng monoton wachsend.
b) Da fs(x) keinen VZW in R hat, kann F(x) auch keinen Wendepunkt haben.
1.9.0 Gegeben ist die reelle Funktion g: x-->
in der maximalen Definitionsmenge Dg
R .
Sie besitzt genau eine Nullstelle xN .
1.9.1 Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge von g und begründen Sie ohne weitere Rechnung,
dass g genau eine Nullstelle in Dg besitzt.
Da f(x) in R streng monoton abnehmend verläuft, von 
bis 0,
gibt es genau einen Schnittpunkt mit y = 1.
Folglich genau eine Nullstelle von g(x).
1.9.2 Zur näherungsweisen Berechnung der Nullstelle xN von g mittels Newton-Verfahren ist ein Startwert x0
gesucht. Schließen Sie aus bisherigen Ergebnissen auf einen günstigen ganzzahligen Startwert x0.
2.0 Ein Biologe untersucht in einem Zeitraum von 14 Tagen, wie das Höhenwachstum von Bambusgräsern
der gleichen Gattung von der Tageszeit abhängt.
Bei Experiment 1 unterliegt die Bambuspflanze der natürlichen Sonneneinstrahlung. Die Beobachtung
beginnt zum Zeitpunkt t = 0 um 12:00 Uhr mittags des ersten Tages.
Die Höhe (in cm) der Bambuspflanze von Experiment 1 wird durch die Funktion
h1: x--> 
mit t
R und 
modelliert.
Dabei gibt t die Zeit in Tagen [d] ab Beobachtungsbeginn an.
Auf das Mitführen der Einheiten kann bei den Berechnungen verzichtet werden.
2.1 Zeigen Sie, dass für alle gilt: 
.
Interpretieren Sie das Ergebnis im Hinblick auf die Höhe des im Experiment 1 verwendeten Bambus.
2.2 Ermitteln Sie ohne CAS diejenige Tageszeit, an der das momentane Höhenwachstum von Bambus im
Experiment 1 am ersten Beobachtungstag am größten ist.
Ungeradzahlige Vielfache von 1/2 sind Zeitpunkte minimaler Wachstumsraten,
während die ganzzahligen Vielfache Zeitpunkte maximale Wachstumsraten darstellen.
2.3.0 Im Experiment 2, das exakt zwei Tage nach Beobachtungsbeginn des ersten Experiments startet,
wird eine andere Bambuspflanze mit der Anfangshöhe 0 cm einer künstlichen Lichtquelle ausgesetzt.
Dadurch beträgt ihr momentanes Höhenwachstum zu jedem Zeitpunkt 25 cm pro Tag.
Die Höhe (in cm) dieser Bambuspflanze wird durch die Funktion h2:x--> 
mit t
R
2.3.2 Mehr als zehn Tage nach Beobachtungsbeginn von Experiment 1 besitzen die beiden Bambuspflanzen
aus den zwei Experimenten zum Zeitpunkt tg die gleiche Höhe. Berechnen Sie mithilfe des Newton-
Verfahrens einen Näherungswert für tg. Bestimmen Sie die Anzahl der Näherungsschritte, die Sie
benötigen, um mithilfe des Newton-Verfahrens einen Näherungswert für tg zu berechnen, welcher um
weniger als 0,001 Prozent vom tatsächlichem Wert abweicht. Verwenden Sie dazu den Startwert
t0 = 10,5 [Tage]
]
beschrieben.
