MK 1.7.2016 B6_12T_NA_MK_Ang.xmcd

Abschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern NACHTERMIN

Mathematik 2016 Analysis A Ausbildungsrichtung Technik

1.0 Gegeben ist die reelle Funktion f: x -->

mit der maximalen Definitionsmenge Df = R.

Der Graph von f wird mit Gf bezeichnet.

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1.1 Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte f(x) an den Rändern der Definitionsmenge auch mit

den Regeln von l'Hospital, falls erforderlich. Geben Sie die Gleichung der waagrechten Asymptote des

Graphen von f an.

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1.2 Bestimmen Sie das Monotonieverhalten von f.

[ Mögliches Teilergebnis: ]

8

1.3 Schließen Sie aus den bisherigen Ergebnissen auf die x-Koordinate des Terrassenpunktes T. Zeigen

Sie, dass der Graph von f keinen weiteren WENDEpunkt besitzt.

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1.4 Die Tangente t an Gf im Punkt B( xB| f(xB) schneidet die x-Achse an der Stelle xS = 2.

Stellen Sie eine Gleichnung von t auf.

[ Mögliches Ergebnis: ]

5

1.5 Zeichnen Sie mithilfe der bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen

von f für sowie mit Farbe die Asymptote von Gf in ein kartesisches Koordinatensystem.

Tragen Sie zudem die Tangente t aus 1.4 in das Koordinatensystem ein.

Maßstab: 1 LE = 1 cm.

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1.6 Gegeben ist die Funktion F: x-->

mit der Definitionsmenge

DF = Df = R und a, b R .

Berechnen Sie die Werte a und b so, dass die Funktion F

eine Stammfumtion von f ist.

[ Ergebnis: ; ]

4

1.7 Der Graph von f, die Tangente t aus 1.4 und die Gerade mit der Gleichung x = 6 schließen zusammen

mit der x-Achse im 1. Quadranten ein endliches Flächenstück ein.

Kennzeichnen Sie dieses Flächenstück in Ihrem Schaubild aus 1.5 und berechnen Sie die Maßzahl des

Flächeninhalts des betrachteten Flächenstücks exakt.

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1.8 Begründen Sie ohne weitere Rechnung ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

a) Der Graph der Stammfunktion F von f ist in DF = R streng monoton fallend.

b) Der Graph der Funktion F besitzt an der Stelle einen Wendepunkt.

1.9.0 Gegeben ist die reelle Funktion g: x--> in der maximalen Definitionsmenge Dg R .

Sie besitzt genau eine Nullstelle xN .

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1.9.1 Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge von g und begründen Sie ohne weitere Rechnung,

dass g genau eine Nullstelle in Dg besitzt.

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1.9.2 Zur näherungsweisen Berechnung der Nullstelle xN von g mittels Newton-Verfahren ist ein Startwert x0

gesucht. Schließen Sie aus bisherigen Ergebnissen auf einen günstigen ganzzahligen Startwert x0.

2.0 Ein Biologe untersucht in einem Zeitraum von 14 Tagen, wie das Höhenwachstum von Bambusgräsern

der gleichen Gattung von der Tageszeit abhängt.

Bei Experiment 1 unterliegt die Bambuspflanze der natürlichen Sonneneinstrahlung. Die Beobachtung

beginnt zum Zeitpunkt t = 0 um 12:00 Uhr mittags des ersten Tages.

Die Höhe (in cm) der Bambuspflanze von Experiment 1 wird durch die Funktion

h1: x--> mit t R und modelliert.

Dabei gibt t die Zeit in Tagen [d] ab Beobachtungsbeginn an.


Auf das Mitführen der Einheiten kann bei den Berechnungen verzichtet werden.

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2.1 Zeigen Sie, dass für alle gilt: .

Interpretieren Sie das Ergebnis im Hinblick auf die Höhe des im Experiment 1 verwendeten Bambus.

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2.2 Ermitteln Sie diejenige Tageszeit, an der das momentane Höhenwachstum von Bambus im Experiment 1

am ersten Beobachtungstag am größten ist.

[ Mögliches Teilergebnis: ]

2.3.0 Im Experiment 2, das exakt zwei Tage nach Beobachtungsbeginn des ersten Experiments startet,

wird eine andere Bambuspflanze mit der Anfangshöhe 0 cm einer künstlichen Lichtquelle ausgesetzt.

Dadurch beträgt ihr momentanes Höhenwachstum zu jedem Zeitpunkt 25 cm pro Tag.

Die Höhe (in cm) dieser Bambuspflanze wird durch die Funktion h2:x--> mit t R

und beschrieben.

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2.3.1 Stellen Sie den Funktionsterm h2(t) auf.

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2.3.2 Mehr als zehn Tage nach Beobachtungsbeginn von Experiment 1 besitzen die beiden Bambuspflanzen

aus den zwei Experimenten zum Zeitpunkt tg die gleiche Höhe. Berechnen Sie mithilfe des Newton-

Verfahrens einen Näherungswert für tg. Verwenden Sie dazu den Startwert t0 = 10,5 [Tage], führen Sie

einen Näherungsschritt durch und runden Sie das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Geben Sie zudem die zugehörige Höhe der Bambuspflanzen auf 1 cm genau an.

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