MK 2.6.2003 AnwendWinkelfun.mcd
Anwendungen mit trigonometrischen Funktionen
Gegeben ist die Funktion
1. Ableitung:
2. Ableitung:
Die Form einer Gleichung, in der Funktion und
Ableitungsfunktionen vorkommen, heißt Differentialgleichung.
Diese spezielle Form heißt
Schwingungsdifferentialgleichung.
Die einfache Differentialgleichung
hat also als Lösung die Menge der Funktionen
der Form
Um die Parameter a, b, c bestimmen zu können,
braucht man weitere Bedingungen.
Ein Beispiel:
Der Feder-Masse-Schwinger
und
( s-Zwei-Punkt)
muss die Lösung
besitzen. Die Parameter A und y
muss man aus den Anfangswerten bestimmen.
Für w
gilt:
Sei
Dann ist
Die Maximalauslenkung
Dann ist
Keine Geschwindigkeit am unteren Umkehrpunkt
in
mit
Das Fadenpendel
w Drehwinkel
lf Fadenlänge
mp Masse am Ende des Fadens
M Drehmoment
Q Trägheitsmoment
mit
"Satz von Steiner"
Moment durch die Rückstellkraft
für kleine Winkel w
Schwingungsdifferentialgleichung
Aufgaben:
(1)
Stellen Sie die Funktionsgleichung der Lösung
der obigen Differentialgleichung mit Hilfe der folgenden
Anfangsbegingungen auf:
(2)
Wie groß ist die Schwingungsdauer beim
obigen Pendel?
(3)
Wie lang ist der Faden eines Sekunden-Pendels?
Lösungen:
mit
also
Schwingungdauer:
Sekundenpendel:
