GS - 15.9.04 - Ueberholvorgang_Lsg.mcd
Extremwertaufgabe - Lösung
- Abschlussaufgabe Physik 1986: Überholvorgang -
1.0 Ein Auto wird auf einer Geraden im Zeitintervall aus dem Stillstand auf die Geschwindig-
keit konstant beschleunigt. Die Zeitmessung beginnt zum Zeitpunkt , die Wegmesssung am Startpunkt des Autos.
1.1 Stellen Sie den Beschleunigungsvorgang für in einem t-x-Diagramm graphisch dar.
(Maßstab: 2,0 s entspricht 1 cm; 20 m entspricht 1 cm)
Hinweis: Lage des Ursprungs 8 cm oberhalb des unteren Blattrandes!
Anfangsbedingung für das Auto:
Beschleunigung:
Beschleunigte Bewegung:
1.2.0 Zum Zeitpunkt befindet sich hinter dem anfahrenden Auto im Abstand ein Motorrad, das mit der konstanten Geschwindigkeit in gleicher Richtung fährt.
1.2.1 Stellen Sie den Bewegungsablauf des Motorrades für in dem Diagramm von 1.1 graphisch dar.
Anfangsbedingung für das Motorrad:
Gleichförmige Bewegung:
Bewegungsablauf dynamisch
Zeitpunkte einstellen für den Bewegungsablauf :
oder Animation: c = 0 und Frame von 0 bis 60
Betrachteter Zeitpunkt:
1.2.2 Entnehmen Sie Ihrem Diagramm näherungsweise diejenigen Zeitpunkte, in denen die beiden Fahrzeuge den Abstand haben.
Abstandsbedingung:
Treffpunkt = Lösung der quadratischen Gleichung für t:
Konkrete Zeitpunkte:
1.2.3 Geben Sie den Abstand der beiden Fahrzeuge in Abhängigkeit von der Zeit mit eingesetzten Größenwerten an.
Abstand allgemein:
1.2.4 Was kann man über die Geschwindigkeit der beiden Fahrzeuge zum Zeitpunkt ihres kleinsten Abstandes aussagen? Begründen Sie Ihr Ergebnis.
Zeitpunkte einstellen für den Bewegungsablauf :
besondere Werte: c = 22, 40, 58
oder Animation: c = 0 und Frame von 0 bis 60
Geschwindigkeiten:
Vor dem Zeitpunkt des kleinsten Abstandes ist die Geschwindigkeit des Autos größer, da das Motor-
rad aus dem Stand beschleunigt.
Zum Zeitpunkt des kleinsten Abstandes sind die Geschwindigkeiten identisch.
Nach dem Zeitpunkt des kleinsten Abstandes ist die Geschwindigkeit des Autos kleiner, da das Motor-
rad weiterhin beschleunigt.
Bewegungsablauf dynamisch
Abstand:
1.2.5 Ermitteln Sie rechnerisch, zu welchem Zeitpunkt dieser Abstand minimal ist.
Physikalische Lösung:
Bedingung: Gleiche Geschwindigkeit, d.h.
Konkreter Zeitpunkt:
Mathematische Lösung als Extremwertaufgabe:
Abstandsfunktion:
Definitionsmenge:
t [ 0 ; ]
1. Ableitung:
2. Ableitung:
zeitunabhängig, immer positiv
Horizontale Tangenten:
Das Extremum ist ein rel. Minimum
Funktionswert des Minimums:
Vergleich mit den Randwerten:
Das Extremum ist also ein absolutes Minimum.
1.2.6 Berechnen Sie diesen kleinsten Abstand .
Bewegungsablauf dynamisch
Zeitpunkte einstellen für den Bewegungsablauf :
oder Animation: c = 0 und Frame von 0 bis 60
Zeitpunkt:
Abstand: