RS 1.2.2004 Titrationskurven.mcd
Titrationskurven in der Chemie
In der Chemie wird der sauere bzw. der basische Charakter einer wässrigen Lösung mit Hilfe des pH-Wertes beschrieben.
In jeder wässrigen Lösung gilt:
[H3O]+ . [OH]- = 10-14 mol2/l2 (bei 25°C).
Dieses Produkt wird Ionenprodukt des Wassers genannt.

Der pH-Wert ist wie folgt definiert:
pH = - lg([H3O]+) ( lg = Logarithmus zur Basis 10 )
Bei der im folgenden zu untersuchenden Titration läßt man zu einer starken Säure unbekannter Konzentration langsam eine starke Base zufließen.
z. B. HCl + NaOH NaCl + H2O
In regelmäßigen Abständen werden die pH-Werte am pH-Meter abgelesen. Der pH-Wert ist abhängig vom Volumen x der zugegebenen Lauge. Die entstehende Kurve läßt sich näherungsweise durch folgende Exponentialfunktion beschreiben:

Da die Variable x die Menge der zugegebenen Lauge beschreibt, gilt folglich:
D(pH) = [0 ; + [
1. Die experimentelle Durchführung liefert folgende Ergebnisse:
- Der Neutralpunkt NP wird nach Zugabe von 10 ml der Lauge erreicht,
- Die Kurve hat im Neutralpunkt NP die größte Steigung,
- Bei einem Überschuß an Lauge erreicht man annähernd den pH-Wert pH = 14.
1.1 Bestimmen Sie aus diesen Angaben die Werte der Parameter a, b und c.
Zwischenergebnis:
1.2. Im folgenden seien a = 14, b = 10 und c = 0. Wir erhalten die Funktion
Zeigen Sie, dass der Neutralpunkt NP der Wendepunkt dieses Graphen ist und
bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente.
Interpretieren Sie diesen Punkt auch chemisch.
1.3 Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von pH1.
Gibt es Extrempunkte?
1.4 Untersuchen Sie den Verlauf des Graphen der Funktion pH1 zu Beginn der Titration
möglichst genau.
Deuten Sie diesen Kurvenverlauf chemisch.
1.5 Fertigen Sie eine saubere Zeichnung des Graphen G(pH1) und seiner
Wendetangente an. Wählen Sie , 1 LE = 1 cm.
1.6 Aus rein mathematischer Sicht kann die Funktion pH1 auf ganz IR definiert werden.
Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion pH1 zum Wendepunkt NP
punktsymmetrisch ist.
2.1 Begründen Sie, dass die Funktion pH1(x) umkehrbar ist und bestimmen Sie den
Funktionsterm der Umkehrfunktion pHu(x).
2.2 Die Auflösung des Ausdrucks der Kurve G(pH1) liegt nur bei 0,1 LE. Ermitteln Sie
rechnerisch den Verbrauch an Natronlauge, so dass die Titrationskurve nicht mehr
von der Geraden y = 14 unterschieden werden kann.
2.3 Im Unterricht wird die Titration auch mit Indikatoren durchgeführt. Jeder Indikator
ändert in einem ganz bestimmten pH-Bereichen seine Farbe:

pH-Bereich des Farbe im Farbe im
Farbumschlages saueren Bereich basischen Bereich
Lackmus 5,0 - 8,0 rot blau
Bromthymolblau 6,0 - 7,6 gelb blau
Phenolphthalein 8,2 - 10,0 farblos rot

Ermitteln Sie die Fehlerbereiche bezüglich des Verbrauchs an Lauge, wenn jeweils
zu Beginn und am Ende des Farbumschlages der Verbrauch abgelesen wird.
Bestimmen Sie sodann für jeden Indikator den Intervallmittelwert und treffen Sie mit
Hilfe der bereits erhaltenen Ergebnisse eine vernünftige Indikatorwahl
(mit Begründung).
3 Im Schülerversuch verwende ich immer eine verdünntere Säure für die gilt:
[HCl] = 0,1 mol/l .
Die Titrationskurve hat auch im Punkte NP(10;7) den Wendepunkt und bei Überschuß
an Lauge wird der pH-Wert 13 erreicht. Bestimmen Sie nun die Koeffizienten r,s, und t in
folgender Funktionsgleichung:
4 Wird umgekehrt eine starke Base (Startwert pH = 14) in der Vorlage mit einer starken
Säure titriert, so erhält man eine Titrationskurve, die zur bisher behandelten Kurve
ähnlich ist. Ermitteln Sie unter Verwendung der Funktion pH1 eine mögliche Funktion
pHBS und skizzieren Sie diese Funktion zusammen mit der Funktion pH1.
Lösung
zu 1.1
Neutralpunkt NP(10; 7) in pH(x) einsetzen ergibt die Gleichung I)
I)
maximale Steigung im Neutralpunkt, d. h. pH´´(10) = 0
II)
Überschuß an Lauge ergibt den pH-Wert 14
III)
also a = 14, b = 10 und c = 0
Von Hand errechnet man aus II) zuerst die Variable b, da ist.
zu 1.2
NP ist Wendepunkt des Graphen G(pH), da laut Angabe gilt: pH´´(10) = 0.
Ferner ändert die 2. Ableitung pH´´(x) bei x = 10 das Vorzeichen.
2. Ableitung der Funktion pH1:
es gilt:
für alle x D
und
für alle x D
Das Vorzeichen der 2. Ableitung ist also nur vom Zähler abhängig:
hat als Lösung
für alle x > 10 ist also pH1´´(x) < 0,
d.h. der Graph G(pH1) ist für x > 10 rechtsgekrümmt
hat als Lösung
für alle x < 10 ist also pH1´´(x) > 0,
d.h. der Graph G(pH1) ist für x < 10 linksgekrümmt
G(pH1) hat bei NP einen Wendepunkt
Gleichung der Wendetangente:
Berechnung der 1. Ableitung an der Stelle x = 10:
Gleichung der Wendetangente:
t:
NP in die Tangente einsetzen:
hat als Lösung
Gleichung der Wendetangente
t:
Im Wendepunkt hat dieser Graph seine größte Steigung. Dies bedeutet chemisch, dass in der Nähe dieses Punktes eine geringfügige Zugabe von Natronlauge die größtmögliche Änderung des pH-Wertes zur Folge hat.
zu 1.3
Berechnung der 1. Ableitung:
Die 1. Ableitung ist für alle x D(pH1) positiv, d. h. der Graph der Funktion pH1 ist streng
monoton steigend. Extrempunkte existieren deshalb nicht.
zu 1.4
Funktionswert bei x = 0:
Steigung der Kurve zu Beginn der Titration:
oder (aber mathematisch nicht exakt):
Zu Beginn der Titration beginnt die Kurve bei pH = 0 und verläuft fast waagrecht.
Chemische Interpretation:
Die Vorlage enthält eine starke Säure für die gilt: [H3O+] = 1 mol/l.
Es gilt nämlich: pH = -lg(1) = -lg( 100) = 0 .
Bei Zugabe der Natronlauge ändert sich der pH-Wert anfangs nur sehr langsam, da noch Säure im Überschuss vorhanden ist. Da der pH-Wert eine logarithmische Größe ist (zur Basis 10), ändert sich der pH-Wert um eine Stufe erst dann, wenn sich der Gehalt an H3O+-Ionen auf 10% der ursprünglichen Konzentration verringert hat.
zu 1.5
Für Hilfslinien
zu 1.6
Vermutetes Symmetriezentrum: NP( 10 ; 7 )
Zu zeigen ist
Berechne pH1(10+h):
Berechne pH1(10-h):
q.e.d
zu 2.1
pH1(x) ist umkehrbar, da diese Funktion auf der gesamten Definitionmenge streng monoton steigend ist.
hat als Lösung für x:
umgekehrte Zuordnung
Umkehrfunktion durch Vertauschen der Variablen
Die Variable x2 steht jetzt für die pH-Werte, die Funktionswerte sind die ml der verbrauchten Natronlauge.
zu 2.2
Ab einem Verbrauch von ca. 15 ml Natronlauge ist die Titrationskurve von der Geraden y = 14 nicht mehr zu unterscheiden. Eine weitere Zugabe von Natronlauge ist nun überflüssig.
zu 2.3
mit Lackmus
mit Bromthymolblau
mit Phenolphthalein:
Mitte des Farbumschlagintervalles
bei Lackmus:
bei Bromthymolblau
bei Phenolphthalein
Mitte des Fehlerbereich
Farbumschlagbereicheses der Messung
Lackmus 6,5 0.875 ml
Bromthymolblau 6,8 0.46 ml
Phenolphthalein 9,1 0.57 ml
Man erkennt, dass man mit Bromthymolblau dem Neutralpunkt von pH = 7 am nächsten kommt und dabei noch den kleinsten Messfehler erwarten darf. Die Titration sollte also mit Bromthymolblau durchgeführt werden.
Phenolphthalein
(violett)
Bromthymolblau
(blau)
Lackmus
(grün)
zu 3

Startwerte 0 ml und pH =1 einsetzen:
I)
NP( 10: 7 ) einsetzen:
II)
pH-Wert bei Überschuß an Lauge
III)
Der Graph dieser Funktion ist unten blau dargestellt.
zu 4
Ist eine Base die Vorlage, so beginnt die Titration bei pH-Werten größer als 7, hier sogar bei
pH = 14 (vgl. Angabe). Der entstehende Graph läßt sich dann durch folgende Funktionsgleichung beschreiben:
Theorie und Praxis
Die folgende Graphik zeigt eine in einer Schülerübung ermittelte Titrationskurve. Die verwendete Salzsäure und Natronlauge waren allerdings nur 0,01 molar und der Äquivalenzpunkt wurde schon nach
7,5 ml Natronlauge erreicht.
Rechts außen sind die Daten aufgelistet.
Die obige Kurve einer real durchgeführten Titration soll nun durch eine geeignete Funktion angenähert werden.

Startwerte 0 ml und pH =2 einsetzen:
NP( 7,7: 7 ) einsetzen:
pH-Wert bei Überschuß an Lauge
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