MK 2.6.2003 Tangentenproblem.mcd
Das Tangentenproblem
Am Beispiel
Gesucht ist die Steigung der Kurve im Punkt (2 /
-1.9), d.h. die Steigung der Tangente in diesem Punkt.
Relativ leicht lässt sich die Steigung einer
Sekante berechnen:
Bsp.: Seien
und
Dann gilt
und
und
somit
Die Punkte der Sekante werden nun immer mehr dem
Punkt (2 / -1.9) genähert.
Unser Problem:
Wenn die Punkte identisch sind, ist Dx
= 0 und man kann m nicht mehr berechnen
Die Lösung des Problems
Die Funktion f(x) hat an der Stelle x0 den
Funktionswert y0 = f(x0)
Ein Punkt P1 sei etwas links davon x1 = x0 - h ,
y1 = f(x0 - h) mit h
R+
Ein Punkt P2 sei etwas rechts davon x2 = x0 + h ,
y2 = f(x0 + h)
Nun hat man zwei Sekanten, die man einander
annähern kann.
Hier:
und
Allgemein:
Das erinnert stark an die Definition des
Grenzwertes mit Hilfe der h-Methode und führt auf folgende
Definition:
Def.: Die Steigung einer Funktion bei x
= X0 (das ist gleichzeitig die Steigung der Tangente) ist an die
Existenz
und Übereinstimmung der beiden Grenzwerte
gebunden. In diesem Fall heißt die Funktion
f differenzierbar
an der Stelle x0 und der Wert f ' (x0)
heißt Ableitungswert von f an der Stelle
x0.
Die Funktion heißt differenzierbar in einem
Intervall, wenn sie an jeder Stelle des Intervalls differenzierbar ist.
