MK 14.10.2004 D2_Steigungen.mcd
Steigungen
Die lineare Funktion ist gut geeignet, den Begriff
Steigung in die Mathematik einzuführen. Der Graph der linearen
Funktion (eine Gerade) eine einfach zu berechnende Steigung auf.
Bei der linearen Funktion mit der
Funktionsgleichung
mit m, t
IR gibt
der Parameter m die Steigung an.
Bsp.:
und
ergeben
die Funktion mit der Gleichung
.
Diese Gerade hat die Steigung
.
Bei einer Geraden berechnet sich die Steigung sehr
einfach:
Man entnimmt dem Graphen zwei verschiedene Punkte,
hier z.B. ( 0 / 1 ) und ( 2 / 0 ).
Der Quotient aus der Differenz der y-Werte
und der Differenz der x-Werte gibt die Steigung m:
Punkt 2 --^
^-- Punkt 1
Allgemein:
Die Differenz der y-Werte: Dy
und die Differenz der x-Werte: Dx
ergeben den
Differenzenquotienten
Der Differenzenquotient ist für eine
bestimmte lineare Funktion (Gerade) unabhäging davon, welche
Punkte zur Bestimmung verwendet werden (Die Punkte dürfen nur
nicht identisch sein!).
Ausprobieren:
In unserer Realität existieren meist Kurven,
die keine Geraden darstellen. Es kann also durchaus interessant sein,
an einer beliebigen Stelle einer Kurve, die keine Gerade darstellt,
eine Steigung in Erfahrung zu bringen.
Man kann die Steigung an eine Kurve durch eine
Sekante annähern.
Ausprobieren:
Aufgabe
(1):
Versuchen Sie, möglichst genau die Steigungen an den Werten
,
,
der Funktionen (1)
und (2)
mit Hilfe der beiden Geonextprogramme zu bestimmen.
Aufgabe
(2): Bestimmen Sie im
Interval [ -4 ; 4 ] des Graphen der Funktion f3
die Stellen der höchsten Steigung, des höchsten Gefälles
und der Steigung 0 (waagrecht).
Lösungen
Aufgabe
(1): Versuchen Sie,
möglichst genau die Steigungen an den Werten
,
,
der Funktionen (1)
und (2)
mit Hilfe der beiden Geonextprogramme zu bestimmen.
Aufgabe
(2): Bestimmen Sie im
Interval [ -4 ; 4 ] des Graphen der Funktion f3 die Stellen der
höchsten Steigung, des höchsten Gefälles und der
Steigung 0 (waagrecht).
Stärkster Anstieg und stärkstes
Gefälle in den Randpunkten!
