GS - 12.10.04 - D5_Momgeschw.mcd

Durchschnittsgeschwindigkeit - Momentangeschwindigkeit
- Der Grenzübergang -

1. Messung

Gegeben sind die Messwerte zu einem gleichmäßig beschleunigten Bewegungsvorgang. Für die Zeitpunkte t_i wird der jeweilige Weg gemessen.

feste Zeitintervalle:

Zurückgelegter Weg:

2. Auswertung

Anhand der Diagramme kommt man zu folgendem Ergebnis (Diagramm 1) bzw. Folgerung (Diagramm 2):

Ergebnis:

Folgerung:

3. Die mittlere Geschwindigkeit

Beim Bewegungsablauf wird der Versuchswagen ständig schneller.
Es wird nun die Geschwindigkeitszunahme pro Zeitintervall betrachtet.
Innerhalb dieses Zeitintervalls wird die Geschwindigkeit gemittelt und als konstant angesehen (Diagramm 3):

"mittlere Geschwindigkeit" = "Durchschnittsgeschwindigkeit" :

Für die Intervalle können Sie wählen:

---- Durchschnittsgeschwindigkeit

---- Mittelwerte

Ergebnis:

Die Durchschnittswerte der Geschwindigkeit liegen, unabhängig von der Größe des Zeitintervalls, alle auf einer Geraden.

Folgerung:
In einem Intervall Dt gilt für die Änderung der mittleren Geschwindigkeit:

Diese Konstante wird bei der gegebenen linearen Bewegung als Beschleunigung bezeichnet, die Bewegung als "gleichmäßig beschleunigte Bewegung".

4. Die Momentangeschwindigkeit

Nun gilt: Bei hinreichend kleinen Intervallen für geht die mittlere Geschwindigkeit in die "Momentangeschwindigkeit" über.

Definition: Momentangeschwindigkeit

Definition: Beschleunigung

Wähle das Zeitintervall:

Fläche entspricht Weg

5. Bewegungsgleichungen

Beschleunigung:

Bewegung mit konstanter Beschleunigung

Geschwindigkeit:

1. Bewegungsgleichung

Weg:

2. Bewegungsgleichung

6. Mathematische Formulierung

Mit den Hilfsmitteln der "Differentialrechnung", die von "Sir Isaac Newton" entwickelt wurde, werden diese Ausdrücke sehr einfach:

(1)

(2)

oder mit (1)

(2*)

Umgekehrt liefert die "Integralrechnung":

Quelle: Historische Portraits

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