MK 18.3.2004 EigenschaftenFun_Ueb.mcd
Übung zur Eigenschaften von Funktionen
(1)
Gegeben ist die Funktion
Bestimmen Sie das Grenzverhalten, die Symmetrie und die Nullstellen. Zeichnen Sie den Graphen. Lesen Sie aus dem Graphen die Monotoniebereiche ab. Ist die Funktion beschränkt?
(2)
Gegeben ist die Funktion
mit dem reellen Parameter c.
Bestimmen Sie das Grenzverhalten, und die Nullstellen (in Abhängigkeit von c). Für welchen Wert von c ist die Funktion symmetrisch? Zeichnen Sie den Graphen für c = 1.
Lesen Sie aus dem Graphen die Monotoniebereiche ab.
Lesen Sie aus dem Graphen eine evtl. vorhandene Schranke ab.
(3)
Gegeben ist die Funktion
mit dem reellen Parameter d.
Bestimmen Sie das Grenzverhalten, und die Nullstellen (in Abhängigkeit von d). Für welchen Wert von d ist die Funktion symmetrisch? Zeichnen Sie den Graphen für d = 0. Lesen Sie aus dem Graphen die Monotoniebereiche und eine evtl. vorhandene Beschränktheit ab.
Lösungen:
(1)
Gegeben ist die Funktion
Bestimmen Sie das Grenzverhalten, die Symmetrie und die Nullstellen. Zeichnen Sie den Graphen. Lesen Sie aus dem Graphen die Monotoniebereiche ab. Ist die Funktion beschränkt?
x--->
------------------------>
= f(x) => Achsensymmetrie zur y-Achse
=> Berührpunkt bei
Substitution
Rücksubstitution:
=>
Schnittpunkte
Rücksubstitution:
=>
Schnittpunkte
Linearfaktorzerlegung:
Monotoniebereiche, ungefähr:
smofa in ] -
; -2.5 ] [ - 0.7 ; 0 ] [ 0.7 ; 2.5 ]
smost in [ -2.5 ; -0.7 ] [ 0 ; 0.7 ] [ 2.5 ;
[
Eine gute untere Schranke wäre -100.
(2)
Gegeben ist die Funktion
mit dem reellen Parameter c.
Bestimmen Sie das Grenzverhalten, und die Nullstellen (in Abhängigkeit von c). Für welchen Wert von c ist die Funktion symmetrisch? Zeichnen Sie den Graphen für c = 1.
Lesen Sie aus dem Graphen die Monotoniebereiche ab.
Lesen Sie aus dem Graphen eine evtl. vorhandene Schranke ab.
x--->
------------------------>
Errate
Errate
Linearfaktorzerlegung:
(1) Fall:
=> Berührpunkt bei
Schnittpunkte bei
und
(2) Fall:
=> Berührpunkt bei
Schnittpunkte bei
und
(3) Fall:
=> Berührpunkt bei
Schnittpunkte bei
und
(4) Fall:
c ist alles andere
=> Schnittpunkte bei
und
und
und
Aus dem (4) Fall: g ist achsensymmetrisch, falls
= g(1,x) => Achsensymmetrie zur y-Achse
Monotoniebereiche, ungefähr:
smofa in ] -
; -1.7 ] [ 0 ; 1.7 ]
smost in [ -1.7 ; 0 ] [ 1.7 ;
[
Eine gute untere Schranke wäre -3.
(3)
Gegeben ist die Funktion
mit dem reellen Parameter d.
Bestimmen Sie das Grenzverhalten, und die Nullstellen (in Abhängigkeit von d). Für welchen Wert von d ist die Funktion symmetrisch? Zeichnen Sie den Graphen für d = 0. Lesen Sie aus dem Graphen die Monotoniebereiche und eine evtl. vorhandene Beschränktheit ab.
x--->
------------------------>
Errate
=
Errate
Linearfaktorzerlegung:
(1) Fall:
=> Berührpunkt bei
Schnittpunkte bei
(2) Fall:
=> Berührpunkt bei
Schnittpunkte bei
(3) Fall:
=> Berührpunkt bei
Schnittpunkte bei
(4) Fall:
=> Berührpunkt bei
Schnittpunkte bei
(5) Fall:
d ist alles andere
=> Schnittpunkte bei
und
und
und
Aus dem (5) Fall: h ist punktsymmetrisch, falls
= -h(0.5,x) => Punktsymmetrie zur y-Achse
Monotoniebereiche, ungefähr:
smost in ] -
; -2.3 ] [ 0 ; 0.3 ] [ 2.4 ;
[
smofa in [ -2.3 ; 0 ] [ 0.3 ; 2.4 ]
Die Funktion ist unbeschränkt, siehe Grenzverhalten.