MK 3.6.2003 Symmetrie.mcd
Symmetrie
Wir unterscheiden zwei Arten der Symmetrie: 1. Punktsymmetrie zum Ursprung und 2. Achsensymmetrie zur Ordinate (y-Achse).
Punktsymmetrie zum Ursprung
Graphische Symmetrieerzeugung
Symmetrie1P.gxt
(1) Probiere eine symmetrische Funktion aus:

Was macht Punkt B, wenn man Punkt A zieht?
(Beschreiben Sie das gegenseitige Verhalten in Stichpunkten)
Symmetrie2P.gxt
(2) Wie wird ein Symmetriepunkt konstruiert?
(Geben Sie die Konstruktionanleitung für Lineal und Zirkel
in eigenen Worten wieder)
Symmetrie3Pfrei.gxt
(3) Erzeuge eine eigene Kurve!
(Bestätigen Sie die obigen Punkte spielerisch)
Mathematische Überprüfung
Für eine Punktspiegelung am Ursprung gilt:
Wechselt das Vorzeichen des x-Wertes, dann muss auch das Vorzeichen des y-Wertes wechseln.
Setzen Sie für das x ein -x in die Funktionsgleichung ein.
Dann müssen alle Vorzeichen wechseln, es kommt die negative Funktionsgleichung dabei heraus.
Bsp.:
Sei
Dann gilt
Das ist genau
f ist punktsymmetrisch zum Ursprung!
Welcher Graph ist
punktsymmetrisch?
=
=> f1 ist punktsymmetrisch
=> f2 ist nicht punktsymmetrisch
=
=> f3 ist punktsymmetrisch
Achsensymmetrie zur y-Achse
Graphische Symmetrieerzeugung
Symmetrie4A.gxt
(1) Wie wird ein Symmetriepunkt konstruiert?
(Geben Sie die Konstruktionanleitung für Lineal und Zirkel
in eigenen Worten wieder)
Symmetrie5Afrei.gxt
(2) Erzeuge eine eigene Kurve!
(Bestätigen Sie die obigen Punkte spielerisch)
Mathematische Überprüfung
Für eine Achsenspiegelung an der Ordinate gilt:
Wechselt das Vorzeichen des x-Wertes, dann darf das Vorzeichen des y-Wertes nicht wechseln.
Setzen Sie wie bei der Punktsymmetrie für das x ein -x in die Funktionsgleichung ein.
Dann darf kein Vorzeichen wechseln, es kommt die alte Funktionsgleichung dabei heraus.
Bsp.:
Sei
Dann gilt
Das ist genau
f ist achsensymmetrisch zur y-Achse!
Welcher Graph ist
achsensymmetrisch?
=
=> f1 ist achsensymmetrisch
=> f2 ist nicht achsensymmetrisch
=
=> f3 ist achsensymmetrisch
Insgesamt: Setzen Sie -x für alle x in der Funktionsgleichung ein.
Bleibt nach Vereinfachung alles bei der alten Funktionsgleichung, so ist die Funktion achsensymmetrisch.
Ändern sich alle Vorzeichen, erhalten Sie also -f(x), so ist die Funktion punktsymmetrisch.
Erhalten Sie weder f(x) noch -f(x), ist die Funktion überhaupt nicht symmetrisch.
Aufgaben:
Prüfen Sie rechnerisch auf Symmetrie!
Lösungen:
weder noch, nicht symmetrisch
= f5(x), d.h. achsensymmetrisch
= f6(x), d.h. achsensymmetrisch
= - f7(x), d.h. punktsymmetrisch
= - f8(x), d.h. punktsymmetrisch
weder noch, nicht symmetrisch