MK 3.6.2003 Kurvendiskussion_ex_Ueb_1.mcd
Übung: Kurvendiskussion mit einer ex-Funktion
Gegeben ist die Funktion 
. Diskutieren Sie die Funktion. Bestimmen Sie
(1) Definitionsmenge
(2) Nullstellen
(3) Symmetrie
(4) Grenzverhalten
(5) Monotoniebereiche
(6) Extrempunkte
(7) Krümmungsverhalten
(8) Wendepunkte
(9) Graph
(10) Stellen Sie eine Regel zur Bestimmung der n-ten Ableitung von f auf und beweisen Sie sie.
(11) Damit lässt sich leicht
vermuten. Verifizieren Sie Ihr Ergebnis durch Differenzieren.
(12) Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Graphen von f, der Wendetangente und der Abszisse.
(13) Weisen Sie nach: Die Extrempunkte von f und von allen Ableitungen von f liegen auf
Gegeben sind die Funktionen
Die drei Funktionen begrenzen ein Flächenstück. Berechnen Sie seinen Inhalt.
ist die einzige Nullstelle
x--->
(nach rechts) x--->
:
x--->
x--->
(nach links) x--->
:
x--->
x--->
f ist streng monoton abnehmend für
f ist streng monoton zunehmend für
Aus der Monotonie: fallen auf steigen bei 
Minimum
Aus der Krümmung: VZW bei 
Wendepunkt
(10) Stellen Sie eine Regel zur Bestimmung der n-ten Ableitung von f auf und beweisen Sie sie.
Beweis (durch vollständige Induktion):
(11) Damit lässt sich leicht
vermuten. Verifizieren Sie Ihr Ergebnis durch Differenzieren.
(12) Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Graphen von f, der Wendetangente und der Abszisse.
Nullstelle der Wendetangente:
(13) Weisen Sie nach: Die Extrempunkte von f und von allen Ableitungen von f liegen auf
Die Nullstellen der Ableitungen sind jeweils x-Werte der Extrema der um eins niedrigeren Ableitung.
Gegeben sind die Funktionen
Die drei Funktionen begrenzen ein Flächenstück. Berechnen Sie seinen Inhalt.
Alle Funktionen sind achsensymmetrisch, d.h. eine Betrachtung für
