GS, MK - 19.02.2004 - EulerZahl_Reihe.mcd

Berechnung der Eulerschen Zahl e
Methode 2: Reihendarstellung der e-Funktion

Exponentialfunktion zur "natürlichen" Basis e:

Ableitung:

Tangente im Punkt (0/1):

Eigenschaften:
Die e-Funktion ist streng monoton wachsend und
immer linksgekrümmt. Das heißt: Der Graph der Funktion f(x) = e^x liegt immer über der
Tangente t(x) = x+1.

Gleichung (1):

Integration von (1) liefert

Umformung liefert Gleichung (2):

Integration von (2) liefert

Umformung liefert Gleichung (3):

Da der Graph der e-Funktion immer etwas oberhalb des Graphen der Polynomfunktion liegt und durch den
Aufleitungsprozess immer der frühere Polynomterm miterzeugt wird, geht diese Annäherung immer weiter:

Summenterm: . . .

Mit dem "Fakultätszeichen": . . .

Für gilt schließlich: . . . .

Das ist die "Mac Laurin - Potenzreihe" der e-Funktion.

Berechung der Eulerschen Zahl e:

Summenterm: . .

Speziell sei x = 1:

Eulersche Zahl:

...

Näherungsberechnungen:

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natürliche Zahlen n

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