MK 15.11.2009 GebratFun_Para_Ueb.mcd
Übungen: Gebrochen-rationale Funktionen mit Parameter
Untersuchen Sie die folgenden Funktionen
(1) Definitionsmenge
(2) Hebbare Definitionslücken
(3) Polstellen (Art)
(4) Nullstellen (Art)
(5) Horizontale Asymptoten
(6) Graph
(1)
(2)
(3)
(4)
Lösungen:
(1)
D = R \ { -3; 2 }
Horizontale Asy:
1.Fall:
=> Hebb. Defl.:
, Polstellen:
mit VZW, Nullst.:
SP
2. Fall:
=> Hebb. Defl.:
, Polstellen:
mit VZW, Nullst.:
SP
3. Fall:
=> Hebb. Defl.: keine, Polstellen:
und
mit VZW, Nullst.:
BP
4. Fall: a ist nichts allem
=> Hebb. Defl.: keine, Polstellen:
und
mit VZW, Nullst.:
und
SP
(2)
D = R \ {
; 2b }
Horizontale Asy:
Fall
also
=> Hebb. Defl.:
, Polstellen:
mit VZW, Nullst.:
SP
Fall
also
=> Hebb. Defl.: keine, Polstellen:
ohne VZW, Nullst.:
und
SP
Fall
also
=> Hebb. Defl.:
, Polstellen:
mit VZW, Nullst.:
SP
Fall
also
=> Hebb. Defl.:
, Polstellen:
mit VZW, Nullst.:
SP
Fall
also
=> Hebb. Defl.: keine, Polstellen:
und
mit VZW, Nullst.:
BP
Fall b ist nichts allem
=> Hebb. Defl.: keine, Polstellen:
und
mit VZW, Nullst.:
und
SP
(3)
DN < 0 falls c
] -1; 0[ => keine Lösung
DN = 0 falls c
{ -1; 0} => eine Lösung für c = -1 =>
(doppelt)
für c = 0 =>
(doppelt)
DN > 0 falls c
] -
; -1[
] -1;
[ => zwei Lösungen:
und
(doppelt)
Horizontale Asy:
Sei DN > 0 : Pol = Nullstelle?
Probe:
OK
aber
1. Fall: DN < 0 falls c
] -1; 0[ => D = R, keine hebbaren Defl., keine Polstellen, Berührpunkt bei
2. Fall: DN = 0 falls c
{ -1; 0} => keine hebbaren Defl., Berührpunkt bei
2.1 Fall: c = -1 => D = R \ { -1}, Pol bei
ohne VZW
2.2 Fall: c = 0 => D = R \ { 0}, Pol bei
ohne VZW
3. Fall: DN > 0 falls c
] -
; -1[
] -1;
[ => D = R \ {
;
};
3.1 Fall: c
] -
; -1[
] -1;
[ \ {
} => keine hebbaren Defl., Berührpunkt bei
,
Pol bei
mit VZW,
Pol bei
mit VZW
3.2 Fall: c =
=> hebbare Defl. bei
(wie SP), Pol bei
mit VZW
(4)
und
=> D = R \ { -2; 0.5}
und
Horizontale Asy:
Fall
=> Hebb. Defl.:
und
und sonst nichts
Fall
also
=> Hebb. Defl.:
, Polstellen:
mit VZW, Nullst.:
SP
Fall
also
=> Hebb. Defl.:
, Polstellen:
mit VZW, Nullst.:
SP
Fall d ist nichts allem
=> Hebb. Defl.: keine, Polstellen:
und
mit VZW, Nullst.:
und
SP
