MK 3.6.2003 GebratFun_Ueberblick.mcd

Gebrochen-rationale Funktionen - Überblick

Def.:

Seien

und

zwei ganzrationale Funktionen.

Dann ist

eine gebrochen-rationale Funktion.

Ist so heißt f echt gebrochen-rational, sonst unecht gebrochen-rational.

Bsp.:

ist eine unecht gebrochen-rationale Funktion.

ist eine echt gebrochen-rationale Funktion.

Satz:

Jede unecht gebrochen-rationale Funktion kann mit Hilfe der Polynomdivision zerlegt werden in eine Funktion mit einem ganzrationlen Anteil r(x) und einem echt gebrochen-rationalen Anteil s(x).

Bsp.:

:

=

Rest

also

und

"Asymptotenform"

Eigenschaften

Definitionsmenge:

D = R \ { Nullstellen des Nennerpolynoms q(x) }

Nullstellen, Pole, hebbare Definitionslücken:

Wir betrachten die Stelle x0:

An der Stelle x0 sei eine a-fache Nullstelle des Zählerpolynoms p(x) und gleichzeitig eine b-fache Nullstelle des Nennerpolynoms q(x).

(1) Fall:

(Zähler überwiegt)

(1.1) Fall:

(Eine reine Zählernullstelle)

(1.1.1) Fall: a ungerade

Bei x0 gibt es einen Schnittpunkt (SP mit VZW).

(1.1.2) Fall: a gerade

Bei x0 gibt es einen Berührpunkt (SP ohne VZW).

(1.2) Fall:

Bei x0 gibt es eine hebbare Definitionslücke auf der x-Achse ("Pseudonullstelle").

(1.2.1) Fall: a-b ungerade

Bei x0 sieht die hebbare Definitionslücke aus wie ein Schnittpunkt.

(1.2.2) Fall: a-b gerade

Bei x0 sieht die hebbare Definitionslücke aus wie ein Berührpunkt.

(2) Fall:

Bei x0 gibt es eine hebbare Definitionslücke (nicht auf der x-Achse).

(3) Fall:

(Nenner überwiegt)

Bei x0 gibt es eine Polstelle (Unendlichkeitsstelle) der Ordnung b-a

(3.1) Fall: b-a ungerade

Bei x0 gibt es eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel (alternierender Pol).

(3.2) Fall: b-a gerade

Bei x0 gibt es eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

Grenzverhalten:

x----->

(1) Fall:

(echt gebrochen-rationale Funktionen)

------------------->

"Die Abszisse ist horizontale Asymptote"

(2) Fall:

(unecht gebrochen-rationale Funktionen)

Zerlege f(x) mittels Polynomdivision in die Asymptotenform f(x) = r(x) + s(x)

Ist n = m so wird

"Horizontale Asymptote"

Ist n - m = 1 so wird

"Schiefe (schräge) Asymptote"

Ist n - m = 2

"Asymptotenfunktion"

(mind. quadratischer Term)

Beispiele:

(1)

Linearfaktor-

zerlegung

gekürzt

Poldiv,

Asymptotenform

D = R \ { 3 ; 4 }

(unecht gebrochen-rationale Funktion)

Hebbare Defintionslücke bei 4

Nullstelle (SP) bei

Pol mit VZW bei 3

Grenzverhalten: horizontale Asy y = 2

(2)

Linearfaktor-

zerlegung

Poldiv,

Asymptotenform

(unecht gebrochen-rationale Funktion)

D = R \ { 0 }

keine hebbare Defintionslücke

Nullstelle (SP) bei

Pol ohne VZW bei 0

Grenzverhalten: schiefe Asy

(3)

Poldiv, Asymptotenform

D = R \ { 2 }

(unecht gebrochen-rationale Funktion)

keine hebbare Defintionslücke

Nullstelle (dreifach = SP) bei

Pol mit VZW bei 2

Grenzverhalten:

Asymptotenfunktion

r(x)

Linearfaktor-

zerlegung

(4)

D = R \ { -2 ; -1 ; 1 ; 3 }

(echt gebrochen-rationale Funktion)

Hebbare Defintionslücke bei -1

Nullstelle (SP) bei

Nullstelle (BP) bei

Pol mit VZW bei -2

Pol ohne VZW bei 1

Pol mit VZW bei 3

Grenzverhalten:

Horizontale Asy y=0