MK 3.6.2003 GebratFunkt_Ueb_2.mcd
Übungen gebrochen-rationale Funktionen (2)
Für alle Funktionen:
Bestimmen Sie jeweils
das Grenzverhalten (x--->
) und die Asymptoten,
die Definitionsmenge,
die Polstellen,
die Nullstellen und
hebbare Definitionslücken.
Skizzieren Sie den Graphen.
(1)
Mit c
R
Skizze für c = 0
(2)
Mit k
R
Skizze für k = 1
(3)
Mit m
R
Skizze für m = -2
(4)
Mit p
R
Skizze für p = 0
(5)
Mit c
R
Skizze für c = 0
(1)
Mit c
R
Skizze für c = 0
Grenzverhalten:
x --->
------------------>
"Horizontale Asymptote"
Nenner:
Definitionsmenge:
D = R \ { -1 ; 1 ; c }
Zähler:
Linearfaktorzerlegung:
Polstellen bei:
"mit Vorzeichenwechsel, vertikale Asymptote"
Nullstellen:
"Berührpunkt"
für
sonst hebbbare Definitionlücke in Form eines BP
Hebbare Definitionslücken bei:
für
Graph für c = 0:
(2)
Mit k
R
Skizze für k = 1
Grenzverhalten:
x --->
echt gebrochenrationale Funktion
------------------>
"Horizontale Asymptote"
Nenner:
Definitionsmenge:
D = R \ { -2 ; 1 ; 0.5 }
Zähler:
Linearfaktorzerlegung:
Hebbare Definitionslücken bei:
für
wie SP
für
und
für
Polstellen bei:
"mit Vorzeichenwechsel, vertikale Asymptote"
für
"mit Vorzeichenwechsel, vertikale Asymptote"
für
Nullstellen:
"Schnittpunkt"
für
und
und
Graph für k = 1:
(3)
Mit m
R
Skizze für m = -2
Grenzverhalten:
x --->
------------------>
"Horizontale Asymptote"
Nenner:
Definitionsmenge:
D = R \ { -1 ; -m }
Zähler:
Linearfaktorzerlegung:
Hebbare Definitionslücken bei:
für
wie SP
oder
für
Polstellen bei:
"mit Vorzeichenwechsel, vertikale Asymptote"
für
"ohne Vorzeichenwechsel, vertikale Asymptote"
für
"mit Vorzeichenwechsel, vertikale Asymptote"
für
Nullstellen:
"Berührpunkt"
für
"Schnittpunkt"
für
Graph für m = -2:
(4)
Mit p
R
Skizze für p = 0
Grenzverhalten:
x --->
------------------>
"Schiefe Asymptote"
Nenner:
Definitionsmenge:
D = R \ { -2 ; 2; p }
Zähler:
=
Linearfaktorzerlegung:
(1) p = -2 oder +2
Hebbare Definitionslücken: --
Polstellen:
"mit (p = 2) oder ohne ( p = -2 ) Vorzeichenwechsel, vertikale Asymptote"
"mit (p = -2) oder ohne ( p = 2 ) Vorzeichenwechsel, vertikale Asymptotee"
Nullstellen:
"Schnittpunkte"
(2) p = -1 oder +1
Hebbare Definitionslücken:
Polstellen: --
Nullstellen:
(für p = 1)
(für p = -1)
"Schnittpunkte"
(3) p = 0
Hebbare Definitionslücken: bei x = 0 , wie Schnittpunkt
Polstellen:
"mit Vorzeichenwechsel, vertikale Asymptote"
Nullstellen:
"Schnittpunkte"
Der Graph ist symmetrisch für p = 0.
(4) p = "weder noch"
Hebbare Definitionslücken: --
Polstellen:
"mit Vorzeichenwechsel, vertikale Asymptote"
Nullstellen:
"Schnittpunkte"
Der Graph ist symmetrisch für p = 0.
Schnittpunkte mit der schiefen Asymptote:
=> BP bei 0 für
Graph für
(5)
Mit c
R
Skizze für c = 0
Grenzverhalten:
=
x --->
------------------>
"Horizontale Asymptote"
Nenner:
Definitionsmenge:
D = R \ { -2 ; 2;
}
Zähler:
Linearfaktorzerlegung:
Hebbare Definitionslücken:
bei
immer , als BP (ohne VZW) ausgeprägt falls
bei
, falls
bei
als SP ausgeprägt falls
Polstellen:
bei
ohne VZW ausgeprägt falls
, vertikale Asymptote
bei
mit VZW ausgeprägt falls
, vertikale Asymptote
bei
mit VZW ausgeprägt falls
, vertikale Asymptote
Nullstellen:
bei
als SP (mit VZW) immer
bei
als BP (ohne VZW) falls
, 2,
, 3
Graph für
Der fertige Film:
Der fertige Film:
Der fertige Film:
