MK 3.6.2003 Kurvendisk_gebrat_Para.mcd
Kurvendiskussion am Beispiel
Sei die Funktion
gegeben. Diskutieren Sie die Funktion vollständig. (Graph für c=1)
Nullstellen von Nenner
und Zähler errechnen
(1) Definitionsbereich
D = R \ { c }
(2) Polstellen:
Für
bei x = c mit Vorzeichenwechsel, es existiert eine vertikale Asymptote an dieser Stelle.
(3) Hebbare Definitionslücken:
Nur für
gibts eine hebbare Definitionslücke bei x = 0.
(4) Nullstellen:
Für
ein Berührpunkt (doppelte Nullstelle) bei x = 0 und ein Schnittpunkt bei x = -c.
(5) Symmetrie:
Für
aus der hebbaren Definitionslücke und der Nullstelle erkennbar:
Keine Punktsymmetrie zum Ursprung und keine Achsensymmetrie zur Ordinate.
Sonst:
keine Achsensymmetrie
keine Punktsymmetrie
Für
ist die Funktion achsensymmetrisch.
Man erhält eine Normalparabel mit hebbarer Definitionslücke am Scheitel - langweilig!
(6) Grenzverhalten und Asymptoten
Polynomdivision
ist Asymptoten-
funktion
(7) Monotoniebereiche:
1.Ableitung von f(x)
x1
x2
x3
Grobe Skizze
der 1. Ableitung:
Ablesen der Monotoniebereiche:
Ordne für
die Nullstellen der 1. Ableitung der Größe nach:
Sei z.B. c>0: Dann ist
für
f ist streng monoton zunehmend in ]
; x1]
für
f ist streng monoton abnehmend in [ x1; x2]
In jedem Fall gilt
für
f ist streng monoton zunehmend in [ x2; x3]
für
f ist streng monoton abnehmend in [ x3;
[
(8) Extrempunkte:
Aus der Monotonie:
steigen auf fallen bei x1
Maximum bei x1
fallen auf steigen bei x2
Minimum bei x2
steigen auf fallen bei x3
Maximum bei x3
Oder mit Hilfe der 2. Ableitung:
<0
Maximum bei x1
>0
Minimum bei x2
<0
Maximum bei x3
(9) Krümmungsverhalten:
Auflösung nach der obigen Form
oder Sekantenverfahren.
Grobe Skizze
der 2. Ableitung:
Ablesen der
Krümmungsbereiche:
Der Graph von f
(1) Sei c<0:
für
ist konvex (rechtsgekrümmt) in ]
; c]
für
ist konkav (linksgekrümmt) in [ c; -0.26c]
für
ist konvex (rechtsgekrümmt) in [ -0.26c;
[
(2) Sei 0<c:
für
ist konvex (rechtsgekrümmt) in ]
; -0.26c]
für
ist konkav (linksgekrümmt) in [ -0.26c; c]
für
ist konvex (rechtsgekrümmt) in [ c;
[
(10) Wendepunkte:
Aus der Krümmung die Wendepunkte:
Daraus :
Es gibt einen VZW bei
also einen WP
(11) Wertetabelle, Graph:
