MK 3.6.2003
Kurvendiskussion_gebrat.mcd
Kurvendiskussion am Beispiel
Sei die Funktion
gegeben. Diskutieren Sie die Funktion vollständig.
Nullstellen von Nenner
und Zähler errechnen
(1) Definitionsbereich
D = R \ { -1 ; 2 }
(2) Polstellen:
Bei x = -1 mit Vorzeichenwechsel, vertikale
Asymptoten an dieser Stelle.
(3) Hebbare Definitionslücken:
Bei x = 2
(4) Nullstellen:
Ein Berührpunkt (doppelte Nullstelle) bei x =
3.
(5) Symmetrie:
Aus der hebbaren Definitionslücke und der
Nullstelle erkennbar:
Keine Punktsymmetrie zum Ursprung und keine
Achsensymmetrie zur Ordinate.
Sonst:
keine
Achsensymmetrie
keine Punktsymmetrie
(6) Grenzverhalten und Asymptoten
Polynomdivision
ist schräge
Asymptote
(7) Monotoniebereiche:
1.Ableitung von f(x)
Grobe Skizze
der 1. Ableitung:
Ablesen der Monotoniebereiche:
für
f ist streng monoton zunehmend (auch bei
)
für
f ist streng monoton abnehmend (auch bei
)
für
f ist streng monoton abnehmend
für
f ist streng monoton abnehmend (auch bei
)
für
f ist streng monoton zunehmend (auch bei
)
(8) Extrempunkte:
Aus der Monotonie:
steigen auf fallen bei -5
Maximum bei -5
fallen auf steigen bei 3
Minimum bei 3
Oder mit Hilfe der 2. Ableitung:
<0
Maximum
bei -5
>0
Minimum
bei 3
Der Berührpunkt!
(9) Krümmungsverhalten:
Ablesen der Krümmungsbereiche:
für
Graph von f ist konvex (rechtsgekrümmt)
für
Graph von f ist konkav (linksgekrümmt)
(10) Wendepunkte:
Aus der Krümmung:
Vorzeichenwechsel bei
,
aber -1
D
Keine Wendepunkte
für x
D
(11) Wertetabelle, Graph: