MK 29.1.2008 Kurvendiskussion_gebrat_Ueb_0.mcd
Übung: Kurvendiskussion gebrochen-rationaler Funktionen (0)
Sei die Funktion gegeben. Diskutieren Sie die Funktion vollständig.
(1) Definitionsmenge
(2a) Polstellen
(2b) Hebbare Definitionslücken
(2c) Nullstellen
(3) Symmetrie
(4) Grenzverhalten und Asymptoten
(5) Monotoniebereiche
(6) Extrempunkte
(7) Krümmungsverhalten
(8) Wendepunkte
(9) Graph
Lösung:
Nullstellen von Nenner
und Zähler errechnen
(1) Definitionsbereich
D = R \ { 1 ; 3 }
(2a) Polstellen:
Bei x = 3 mit Vorzeichenwechsel, vertikale Asymptote an dieser Stelle.
(2b) Hebbare Definitionslücken:
Bei x = 1
(2c) Nullstellen:
Schnittpunkte bei x = , .
(3) Symmetrie:
Aus der hebbaren Definitionslücke und der Nullstelle erkennbar:
Keine Punktsymmetrie zum Ursprung und keine Achsensymmetrie zur Ordinate.

Sonst:
keine Achsensymmetrie
keine Punktsymmetrie
(4) Grenzverhalten und Asymptoten
Polynomdivision
ist schiefe Asymptote
(5) Monotoniebereiche:
1.Ableitung von f(x)
Grobe Skizze
der 1. Ableitung:
Ablesen der Monotoniebereiche:
für
Gf ist smost für x € ] ; ]
für
Gf ist smofa für x € [ ; 3 ]
für
Gf ist smofa für x € [ 3; ]
für
Gf ist smost für x € [ ; ]
Maximum bei
(6) Extrempunkte:
Aus der Monotonie:
steigen auf fallen bei
Minimum bei
fallen auf steigen bei
Oder mit Hilfe der 2. Ableitung:
<0 Maximum bei -5
>0 Minimum bei 3
(7) Krümmungsverhalten:
Ablesen der Krümmungsbereiche:
für
Graph von f ist konvex (rechtsgekrümmt)
für
Graph von f ist konkav (linksgekrümmt)
(8) Wendepunkte:
Aus der Krümmung:
Vorzeichenwechsel bei , aber 3 D
Keine Wendepunkte
(9) Wertetabelle, Graph:
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