MK 3.6.2003 Kurvendiskussion_gebrat_Ueb_4.mcd
Übung: Kurvendiskussion gebrochen-rationaler Funktionen (4)
(4) Sei die Funktion
mit dem
reellen Parameter
gegeben.
Bestimmen Sie in Abhängigkeit von c
(1) Definitionsmenge
(2) Polstellen
(3) Hebbare Definitionslücken
(4) Nullstellen
(5) Symmetrie
c sei nun so gewählt, dass die Funktion bei x = 3 eine hebbare Definitionslücke aufweist.
Sie erhalten dadurch die neue Funktion
Bestimmen Sie für die neue Funktion g(x)
(6) Grenzverhalten und Asymptoten
(7) Monotonie
(8) Extrempunkte
(9) Krümmung
(10) Wendepunkte
(11) Skizzieren Sie den Graphen
Lösung:
Nullstellen von Nenner
und Zähler errechnen
(1) Definitionsbereich
D = R \ { -1 ; 3 }
(2) Polstellen:
bei
für
mit VZW
bei
für
mit VZW
(3) Hebbare Definitionslücken:
bei
für
bei
für
(4) Nullstellen:
BP bei
für
SP bei
für
SP bei
für
und
(5) Symmetrie:
Keine
Bestimme c:
Hebbare Defl. bei x = 3
"Polynomdivision mit Rest"
(6) Grenzverhalten und Asymptoten
ist schiefe Asymptote
(7) Monotoniebereiche:
1.Ableitung von f(x)
Grobe Skizze
der 1. Ableitung:
Ablesen der Monotoniebereiche:
für
f ist streng monoton zunehmend (auch bei -4)
für
f ist streng monoton abnehmend (auch bei -4)
für
f ist streng monoton abnehmend (auch bei 2)
für
f ist streng monoton zunehmend (auch bei 2)
(8) Extrempunkte:
Aus der Monotonie:
steigen auf fallen bei
Maximum bei
Aus der Monotonie:
fallen auf steigen bei
Minimum bei
Oder mit Hilfe der 2. Ableitung:
<0
Maximum bei -4
>0
Minimum bei 0
(9) Krümmungsverhalten:
für
Graph von f ist konkav (linksgekrümmt)
Polstelle!
für
Graph von f ist konvex (rechtsgekrümmt)
(10) Wendepunkte:
Aus der Krümmung: Es gibt keine!
(11) Wertetabelle, Graph:
