GS - 05.11.05 - gebro_01_Grundbegr.mcd

Gebrochenrationale Funktionen
- Begriffsbildung -

1. Funktionsterm

Bezeichnung:

Ein Term der Form .

heißt Polynom n-ten Grades.

Definition:

Eine Funktion f mit dem Funktionsterm und
   heißt gebrochenrationale Funktion.
   Dabei ist u(x) ein Polynom vom Grade n und v(x) ein Polynom vom Grade m.

   Bezeichnung: : unecht gebrochenrationale Funktion
: echt gebrochenrationale Funktion

2. Einführungsbeispiel

Grad des Zählers: n = 4; Grad des Nenners: m = 4; f(x) ist eine unecht gebrochenrat. Fkt.

Bestimmung der Definitionsmenge:

Nullstellen des Nenners:

ID = IR \ { ; ; }

Nullstellen:

nicht definiert

Nullstellen des Zählers:

zwei einfache Nullstellen

(0/0)

Bemerkungen:
Da bei diesem Funktionsterm x im Nenner vorkommt, treten im Vergleich zu den bekannten ganzrationalen Funktionen völlig neue Eigenschaften auf.

Folgendes wird untersucht:
- Definitionsmenge und Verhalten an den Definitionslücken
- Nullstellen
- Asymptoten

Vorgehensweise:
- Faktorisieren des Zähler- und des Nennerpolynoms
- Festlegung des Definitionsbereichs und Kürzen, wenn möglich
- Verhalten der Funktionswerte für IxI --> bzw. x --> x₀⁺ und x --> x₀^- .

Faktorisieren des Funktionsterms:

Wertetabelle für besondere Werte:

Wir lassen x in negative Richtung gehen:

Wir lassen x in positive Richtung gehen:

Ergebnis: Die Funktionswerte nähern sich der Geraden . Man sagt:

Die Gerade horizontale Asymptote.

Wir nähern uns der Lücke von links:

Wir nähern uns der Lücke von rechts:

Ergebnis: Die Funktionswerte wachsen über alle Grenzen. Man sagt:

Die Definitionslücke ist eine Polstelle 1. Ordnung (Unendlichkeitsstelle mit VZW)

Sie ist eine vertikale Asymptote mit Vorzeichenwechsel.

Wir nähern uns der Lücke von links:

Wir nähern uns der Lücke von rechts:

Ergebnis: Die Funktionswerte wachsen über alle Grenzen. Man sagt:

Die Definitionslücke ist eine Polstelle 2. Ordnung (Unendlichkeitsstelle ohne VZW)

Sie ist eine vertikale Asymptote ohne Vorzeichenwechsel.

Wir nähern uns der Lücke von links:

Wir nähern uns der Lücke von rechts:

Ergebnis: Die Funktionswerte nähern sich dem Wert . Man sagt:

Die Definitionslücke ist eine hebbare Definitionslücke.

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