GS - 05.11.05 - gebro_03_DeflPol.mcd

Gebrochenrationale Funktionen
- Def.lücken, Polstellen, stetig behebbare Def.lücken, Nullstellen -

1. Definitionslücken

Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion f mit .

Definition: Die Definitionslücken einer gebrochenrationalen Funktion sind die
Nullstellen des Nennerpolynoms:

Folgerung: Ist eine Nullstelle des Nennerpolynoms, so hat die Funktion eine
Definitionslücke bei . .
In diesem Fall enthält das Polynom im Nenner den Linearfaktor .

Bezeichnung: Eine Stelle hat die Vielfachheit n, wenn der Term n-mal vorkommt,
das heißt es steht der Term im Zähler oder im Nenner.

Nun kann man zwei Fälle unterscheiden:

2. Polstellen

1. Fall: Der Faktor lässt sich nicht durch Kürzen beseitigen.

Die Vielfachheit der Nullstelle des Nenners ist größer als die Vielfachheit der Nullstelle des Zählers.

Der Funktionswert wächst bei Annäherung an die Definitionslücke unbeschränkt.
( geht gegen oder )

Definition: Eine gekürzte gebrochenrationale Funktion hat an der
Stelle eine Polstelle n-ter Ordnung (Unendlichkeitsstelle, vertikale Asymptote),

   wenn eine n-fache Nullstelle des Nennerpolynoms ist.

Bezeichnung: Eine Asymptote (Griechisch asumpiptein = "nicht Zusammenfallende") ist eine Gerade, der sich eine ins Unendliche verlaufende Kurve annähert, ohne sie jedoch
zu erreichen. Der Abstand zwischen Kurve und Gerade wird dabei unendlich klein.

Beispiele:

ID = IR \ { 1 }

ID = IR \ { 1 }

ist Polstelle 1.Ordnung = vertikale Asymptote mit VZW

ID = IR \ { 1 }

ID = IR \ { 1 }

ist Polstelle 2.Ordnung = vertikale Asymptote ohne VZW

ID = IR \ { 1 }

ID = IR \ { 1 }

ist Polstelle 1.Ordnung
= vertikale Asymptote mit VZW

ist Polstelle 2.Ordnung
= vertikale Asymptote ohne VZW

2. Stetig behebbare Definitionslücke

2. Fall: Der Faktor lässt sich durch Kürzen beseitigen.

Die Vielfachheit der Nullstelle des Nenners ist kleiner oder gleich als die Vielfachheit
der Nullstelle des Zählers.
      
Der Funktionswert ist bei Annäherung an die Definitionslücke beschränkt.
( geht gegen einen festen Grenzwert g )

Definition: Eine gekürzte gebrochenrationale Funktion hat eine
stetig behebbare Definitionslücke an der Stelle , wenn das Nennerpolynom
nach dem Kürzen nicht mehr vorhanden ist.

Beispiele:

ID = IR \ { 0 ; 1 }

ist stetig behebbare
Definitionslücke  

ID = IR \ { 0 ; 1 }

ist stetig behebbare
Definitionslücke  

3. Nullstellen

Definition: Die Nullstellen einer gekürzten gebrochenrationalen Funktion
sind diejenigen Nullstellen des Zählerpolynoms ,
die nicht zugleich Nullstellen des Nennerpolynoms sind.

ID = IR \ { 0 ; 1 }

ID

Nullstellen des Zählers:

Nullstelle ( / 0 )

gekürzter Funktionsterm:

ID = IR \ { 0 ; 1 }

gekürzter Funktionsterm:

ID

Nullstelle ( / 0 )

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