GS - 05.11.05 - gebro_04_Asys.mcd
Gebrochenrationale Funktionen
- Horizontale Asymptote, schiefe Asymptote, asymptotische Kurve -
1. Horizontale Asymptote
Bezeichnung:
Gegeben ist die Funktion
.
Nun gilt: Grad n des Zählerpolynoms
m des Nennerpolynoms
Der Graph hat eine horizontale Asymptote
: Die unecht gebrochenrationale Funktion f hat die Asymptote
(Parallele zur x-Achse)
: Die echt gebrochenrationale Funktion f hat die Asymptote
(x-Achse)
Bestimmung der horizontalen Asymptote:
Ausklammern der höchsten Potenz von x und Kürzen, anschließend
.
ID = IR \ { 1 }
Von Hand:
Horizontale Asymptote
ID = IR \ { 1 }
Von Hand:
Horizontale Asymptote
2. Schiefe Asymptote
Bezeichnung:
Gegeben ist die Funktion
.
Nun gilt: Grad n des Zählerpolynoms
m des Nennerpolynoms
Der Graph hat keine horizontale Asymptote
: Die unecht gebrochenrationale Funktion f hat die
schiefe Asymptote
Bestimmung der schiefen Asymptote:
Polynomdivision mit Rest, anschließend
. Der ganzrationale Anteil liefert
den Funktionsterm der schiefen Asymptote.
ID = IR \ { 1 }
Polynomdivision:
in Partialbrüche zerlegt, ergibt
ganz-
rational
gebrochen-
rational
Von Hand:
Schiefe Asymptote:
schiefe Asymptote
Also:
:
Graph f nähert sich der Asymptote von unten.
:
Graph f nähert sich der Asymptote von oben.
ID = IR \ { 0 }
Polynomdivision:
in Partialbrüche zerlegt, ergibt
ganz-
rational
gebrochen-
rational
Von Hand:
Schiefe Asymptote:
Schnittpunkt:
schiefe Asymptote
Also:
:
Graph f nähert sich der Asymptote von unten.
:
Graph f nähert sich der Asymptote von oben.
3. Asymptotische Kurve
Bezeichnung:
Gegeben ist die unecht gebrochenrationale Funktion
.
n: Grad des Zählerpolynoms
; m Grad des Nennerpolynoms
Nun gilt:
: Die unecht gebrochenrationale Funktion f hat die
asymptotische Kurve
Bestimmung der asymptotischen Kurve:
Polynomdivision mit Rest, anschließend
. Der ganzrationale Anteil liefert
den Funktionsterm der asymptotischen Kurve.
ID = IR \ { 1 }
Polynomdivision:
in Partialbrüche zerlegt, ergibt
ganz-
rational
gebrochen-
rational
Von Hand:
Asymptotische Kurve:
asymptotische Kurve
Verhalten an der asymptotischen Kurve:
Für große Werte von
schmiegt sich der Graph
an die Parabel
an.
Für kleine Werte verliert der Term
gegenüber dem Term
an Einfluss.
ist vertikale Asymptote mit Vorzeichenwechsel.
