GS - 05.11.05 - gebro_07_Loes.mcd

Gebrochenrationale Funktionen
- Lösungen zu den Aufgaben mit Parameter -

Aufgabe 1: (aus der Prüfung 1988 / A I)

Gegeben sind die reellen Funktionen mit a und der
Definitionsmenge    ID = IR \ { 1 } .

1. Für welchen Wert von a hat die Funktion eine stetig hebbare Definitionslücke?
2. Bestimmen Sie Lage, Art und Anzahl der Nullstellen in Abhängigkeit von a.
3. Zeigen Sie mittels Polynomdivision, dass sich der Funktionsterm    auch in der Form
          darstellen lässt.
4. Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten des Graphen an.
5. Skizzieren Sie .

Teilaufgabe 1:

Stetig hebbare Definitionslücke
Gleiche Nullstelle im Zähler und Nenner, Term ist nach dem Kürzen nicht mehr im Nenner
Nullstelle des Nenners in den Zähler einsetzen.

Nullstelle des Nenners:

Zähler:

Bedingung:

Vereinfachter Funktionsterm:

Stetig hebbare Definitionslücke:

G₀

D

Teilaufgabe 2:

Nullstellenbedingung:

Zwei einfache Nullstellen

Eine zweifache Nullstelle

Eine einfache Nullstelle

Teilaufgabe 3:

Polynomdivision mit Rest:

in Partialbrüche zerlegt, ergibt

Teilaufgabe 4:

Vertikale Asymptote mit Vorzeichenwechsel:

Schiefe Asymptote:

keine Asymptoten

Teilaufgabe 5:

Wähle:

Frame von -40 bis 60

Aufgabe 2: (aus der Prüfung 1994 / A II)

Gegeben sind die reellen Funktionen mit a .

1. Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge der Funktion in Abhängigkeit von a.
Ermitteln Sie die Art etwaiger Definitionslücken von           .
2. Ermitteln Sie, für welche Werte des Parameters a der Graph die x-Achse bzw. die
y-Achse schneidet.
          Geben Sie für diese Werte von a die Koordinaten der Schnitpunkte an.
3. Ermitteln Sie die Gleichungen der Asymptoten des Graphen    .
4. Skizzieren Sie .

Teilaufgabe 1:

Auftreten von Nullstellen in Zähler und Nenner:

Zählernullstelle:

Nenner:

Nennernullstelle:

Sonderfall :

Definitionsmenge: ID = IR \ { 3 }

Definitionslücke: vertikale Asymptote mit VZW

Ermittlung der Definitionsmenge über die Nullstellen des Nenners:

Nullstellen des Nenners:

Fallunterscheidung für die Diskriminante:

Zwei Lösungen:

ID = IR \ { ; }

Definitionslücke: zwei vertikale Asymptoten mit VZW

Eine Lösung:

siehe Sonderfall

Keine Lösung:

ID = IR

Teilaufgabe 2:

Keine Nullstellen

Schnittpunkt mit y-Achse:

Einfache Nullstelle NS(3/0)

Schnittpunkt mit y-Achse:

Einfache Nullstelle NS(3/0)

Vertikale Asymptoten

kein Schnittpunkt mit y-Achse

Teilaufgabe 3:

keine vertikalen Asymptoten, horizontale Asymptote

Teilaufgabe 4:

Wähle:

Frame von -40 bis 110

Aufgabe 3: (aus der Prüfung 1985 / A I)

Gegeben sind die reellen Funktionen mit a .

1. Geben Sie die Definitionsmenge der Funktion an.
2.0 Sei nun   
2.1 Bestimmen Sie die Nullstellen von in Abhängigkeit von a.
2.2 Für welche Werte von a hat die Funktion    zwei, eine bzw. keine Nullstellen?
2.3 Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten des Graphen an und
begründen Sie, warum alle Graphen mit dieselben Asymptoten haben.
3. Skizzieren Sie den Graphen für

Teilaufgabe 1:

Funktionsterm:

Definitionsmenge:

ID = IR

ID = IR \ { 1 }

Teilaufgabe 2.1:

Nullstellenbedingung:

Nullstellen in Zähler und Nenner:

keine Lösung,
da

Nullstellen:

Teilaufgabe 2.2:

2 Lösungen:

2 einfache Nullstellen: NS₁( / 0 ) und NS₂( / 0 )

1 zweifache Nullstellen: NS₁₂( / 0 )

keine Nullstellen:

Teilaufgabe 2.3:

Vertikale Asymptote:

Unabhängig von a, also haben alle Scharkurven dieselben Asymptoten

Schiefe Asymptote:

Teilaufgabe 2.4:

Verlangte Scharkurve:

Wähle c beliebig:

Frame von -50 bis 50

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