MK 3.6.2003 EigenschaftenPolynomfun.mcd
Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
Grenzverhalten
Wie verhält sich der Funktionswert einer ganzrationalen Funktion für x---> oder x---> ?
Bestimmend ist der Summand mit der höchsten Potenz von x.
(1) Ungeradzahlige Exponenten ergeben einen Vorzeichenwechsel im Grenzverhalten, geradzahlige nicht.
(2) Das Vorzeichen des Koeffizienten bestimmt das Grenzverhalten.
EigenschaftenPolfunGrenzv.gxt
EigenschaftenPolynomfun_1.gxt
Bsp.:
^---- Bestimmend ist der Summand mit der höchsten Potenz von x, hier: 3
3 ist ungeradzahlig, also wechselt das Vorzeichen des Grenzverhaltens.
4 ist positiv.
Also: x ----> x ---->+
f(x)-----------------> f(x)----------------->+
Bsp.:
^---- Bestimmend ist der Summand mit der höchsten Potenz von x, hier: 7
7 ist ungeradzahlig, also wechselt das Vorzeichen des Grenzverhaltens.
-5 ist negativ.
Also: x ----> x ---->+
f(x)----------------->+ f(x)----------------->
Bsp.:
^---- Bestimmend ist der Summand mit der höchsten Potenz von x, hier: 4
4 ist geradzahlig, also wechselt das Vorzeichen des Grenzverhaltens nicht.
-6 ist negativ.
Also: x ----> x ---->+
f(x)-----------------> f(x)----------------->
Vielfachheit von Nullstellen
Ein Linearfaktor wird als Differenz (x - Nullstelle) gebildet.
Die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion kann in Linearfaktoren zerlegt werden.
Dazu muss man die Nullstellen bestimmen.
Ein Beispiel: hat die Nullstellen x1= -2 und x2= 3 und somit die
Linearfaktorzerlegung
Die Vielfachheit einer Nullstelle ist dann die Vielfachheit des entsprechenden Linearfaktors.
Das obige Beispiel hat einfache Nullstellen.
Ungeradzahlige Vielfacheiten (1-fache, 3-fache, 5-fache...) ergeben Schnittpunkte,
geradzahlige Vielfacheiten (2-fache, 4-fache, 6-fache...) ergeben Berührpunkte.
Bsp.:
EigenschaftenPolynomfun_2.gxt
Nullstellen:
Linearfaktorzerlegung:
Es existieren also zwei einfache Nullstellen (=Schnittpunkte) bei -2 und 3, sowie eine doppelte Nullstelle
(=Berührpunkt) bei -1.
Schnittp.
Berührp.
Schnittp.
Bsp.:
EigenschaftenPolynomfun_3.gxt
Nullstellen:
Linearfaktorzerlegung:
Es existieren also zwei einfache Nullstellen (=Schnittpunkte) bei -3 und 3, sowie eine doppelte Nullstelle
(=Berührpunkt) bei 1 und eine dreifache Nullstelle (=Schnittpunkt) bei -1.
Schnittp.
Schnittp.
Berührp.
Schnittp.
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