MK 3.6.2003 EigenschaftenPolynomfun_2.mcd
Eigenschaften ganzrationaler Funktionen (2)
Monotonie
In welchen Intervallen steigt und fällt der Graph?
Am Beispiel:
Anschaulich: Sie sind mit dem Fahrrad immer von links nach rechts (zunehmende x-Werte) unterwegs. Wenn es bergab geht, dann fällt der Graph (streng) monoton. Wenn Sie tüchtig strampeln müssten, dann steigt der Graph (streng) monoton.
Mathematische Definition der Monotonie:
Eine Funktion heißt monoton zunehmend, wenn für alle x D gilt:
Gilt sogar
, dann steigt der Graph der Funktion streng monoton.
Eine Funktion heißt monoton abnehmend, wenn für alle x D gilt:
Gilt sogar
, dann fällt der Graph der Funktion streng monoton.
Untersuche dazu:
unter der Voraussetzung
f ist monoton zunehmend
f ist monoton abnehmend
(Anmerkung: Statt streng monoton ist auch echt monoton gebräuchlich.)
Am Beispiel:
Annahme:
Graph monoton steigend
Es war
mit
, da Voraussetzung
Man sieht, dass für sehr kleine h nur Werte in Frage kommen.
Annahme:
Graph monoton fallend
Rechnung
analog:
Man sieht, dass für sehr kleine h nur Werte in Frage kommen.
Also: Der Graph von f fällt monoton bis 1.5 und steigt dann monoton
Ein anschauliches Beispiel: Finde die Intervalle, in denen der Graph der Funktion steigt und fällt.
EigenschaftenPolfunMonotonie.gxt
Beschränktheit
Def.:
Eine Funktion heißt beschränkt, wenn es eine Zahl K R oder eine Zahl L R gibt, so dass gilt:
für alle x
Dann ist K eine obere Schranke.
für alle x
Dann ist L eine untere Schranke.
Die kleinstmögliche obere Schranke heißt Supremum und die größtmögliche untere Schranke heißt Infimum.
Bis auf Ausnahmen lässt sich zu diesem Zeitpunkt eine Schranke nur anschaulich (ohne Beweis) angeben.
Bsp.:
Es gilt
, da
Es gilt auch
Damit wäre -5 eine untere Schranke. Das Infimum hier wäre 1.
Bsp.:
Es gilt
Hier wäre 2 das Supremum
Bsp.:
Es gilt
Diese Funktion hat eine obere und untere Schranke.
Aufgabe:
Stelle mit Hilfe von GEONExT Schätzungen für Supremum/Infimum der Graphen fest.
EigenschaftenPolfunSchranke1.gxt
blau
EigenschaftenPolfunSchranke2.gxt
grün
EigenschaftenPolynomfun_3.gxt
rot
Lösungen: (Die Berechnung mit Mathcad ist in der 11. Klasse noch nicht nachzuvollziehen)
-->
Ein Infimum existiert nicht, da
-------------->