MK 4.6.2003 Kurvendisk_Pol_Ueb_1.mcd
Übungen zur Kurvendiskussion (1)
Aufgaben:
Diskutieren Sie die folgenden Funktionen
vollständig.
(1)
(1) Nullstellen
(2) Symmetrie
(3) Grenzverhalten
(4) Monotoniebereiche
(5) Extrempunkte
(6) Krümmungsverhalten
(7) Wendepunkte
(8) Wertetabelle, Graph
(2)
(2) Symmetrie
(3) Grenzverhalten
(5) Extrempunkte
(7) Wendepunkte
(8) Wertetabelle, Graph
(3)
(2) Symmetrie
(3) Grenzverhalten
(5) Extrempunkte
(7) Wendepunkte
(8) Wertetabelle, Graph
für c = -1 und c = 1
in Abhängigkeit vom reellen Parameter c.
Lösungen:
(1)
(1) Nullstellen:
(2) Symmetrie:
Achsensymmetrie zur Ordinate
(3) Grenzverhalten:
(4) Monotoniebereiche:
1.Ableitung von f(x)
Grobe Skizze
der 1. Ableitung:
Ablesen der Monotoniebereiche:
für
f ist streng monoton abnehmend (auch bei -2)
für
f ist streng monoton zunehmend (auch bei -2, 0)
für
f ist streng monoton abnehmend (auch bei 0, 2)
für
f ist streng monoton zunehmend (auch bei 2)
(5) Extrempunkte:
Aus der Monotonie:
fallen auf steigen bei -
2
Minimum bei - 2
steigen auf fallen bei
Maximum bei
fallen auf steigen bei 2
Minimum bei 2
Oder mit Hilfe der 2. Ableitung:
>0
Minimum
bei -2
<0
Maximum
bei 0
>0
Minimum
bei 2
(6) Krümmungsverhalten:
Quadratische Gleichung:
Grobe Skizze
der 2. Ableitung:
Der Graph von f
Ablesen der Krümmungsbereiche:
für
ist konkav (linksgekrümmt)
für
ist konvex
(rechtsgekrümmt)
für
ist konkav (linksgekrümmt)
(7) Wendepunkte:
Aus der Krümmung:
Vorzeichenwechsel bei
Wendepunkt
Vorzeichenwechsel bei
Wendepunkt
Oder mit Hilfe der 3. Ableitung:
<>0
Wendepunkt
<>0
Wendepunkt
(8) Wertetabelle, Graph:
(2)
(1) Nullstellen:
nur die Nullstelle x = 0 lässt sich finden, der
Rest nur näherungsweise
(2) Symmetrie:
keine Symmetrie
(3) Grenzverhalten:
(5) Extrempunkte:
1.Ableitung von f(x)
2. Ableitung:
<0
Maximum
bei -3
keine Aussage möglich
>0
Minimum
bei 2
(7) Wendepunkte:
3. Ableitung:
<>0
Wendepunkt
<>0
Wendepunkt
<>0
Wendepunkt
(8) Wertetabelle, Graph:
(3)
(1) Nullstellen:
Eine Nullstelle bei 0 erkennbar
(2) Symmetrie:
weder f(c,x) noch -f(c,x)
Keine Symmetrie erkennbar
(3) Grenzverhalten:
(5) Extrempunkte:
1.Ableitung von f(x)
2. Ableitung:
keine Aussage möglich
für c = -1 ist keine Aussage möglich, sonst
ist an
der Stelle c
faa(c,c)>0, d.h. ein Minimum.
Rückgriff auf die Monotonie:
(1) Fall: c <> -1:
(1) Fall: c = -1:
Kein Vorzeichenwechsel bei -1
Streng monoton fallend für
Streng monoton steigend für
Kein Extremum bei -1
Minimum bei -1
(7) Wendepunkte:
3. Ableitung:
<>0 für c<>-1
Wendepunkt
<>0 für c<>-1
Wendepunkt
für c = -1 stellt sich die 2. Ableitung so dar:
Kein Vorzeichenwechsel von faa
Kein Wendepunkt
(8) Wertetabelle, Graph:
