MK 4.6.2003 Kurvendisk_Pol_Ueb_4.mcd
Übungen zur Kurvendiskussion (4)
Aufgaben:
Diskutieren Sie die folgenden Funktionen vollständig.
(1)
in Abhängigkeit vom reellen Parameter k.
(1) Nullstellen
(2) Symmetrie
(3) Grenzverhalten
Setze k = 3/2
(4) Monotoniebereiche
(5) Extrempunkte
(6) Krümmungsverhalten
(7) Wendepunkte
(8) Wertetabelle, Graph
(2)
(1) Nullstellen
(2) Symmetrie
(3) Grenzverhalten
(4) Monotoniebereiche
(5) Extrempunkte
(6) Krümmungsverhalten
(7) Wendepunkte
(8) Wertetabelle,
Graph für k = 0.5
in Abhängigkeit vom reellen Parameter k.
Lösungen:
(1)
(1) Nullstellen:
Finde
Polynomdivision
Finde
Polynomdivision
Falls 2k = 3, -3, -2 gibt es Berührpunkte, sonst nur SP
(2) Symmetrie:
Wenn Symmetrie, dann Achsensymmetrie:
für alle x
Für k = -1 ist die Funktion achsensymmetrisch.
(3) Grenzverhalten:
Sei ab jetzt sei k = 3/2
(4) Monotonie:
mit BP bei -3
Nullstellen:
1.Ableitung:
Setze sofort
Skizze der 1. Ableitung:
fallen steigen fallen steigen
=>
Der Graph von f1 ist smofa für
smost für
smofa für
smost für
(5) Extrempunkte:
Grenzverhalten
1.Ableitung von f(x)
Aus dem Monotonieverhalten (4) =>
Max bei -2.347, Min bei -3 und 1.597
(6) Krümmungsverhalten:
2.Ableitung:
Skizze der 2. Ableitung:
=>
Der Graph von f1 ist konvex (rechtsgekrümmt) für
konkav (linkssgekrümmt) für
konvex (rechtsgekrümmt) für
(7) Wendepunkte:
Aus dem Krümmungsverhalten: VZW der 2. Ableitung bei
und
oder benutze die
3. Ableitung:
=> WP existieren!
(8) Wertetabelle, Graph:
(2)
(1) Nullstellen:
Finde
Polynomdivision
Linearfaktorzerlegung:
(2) Symmetrie:
weder f(k,x) noch -f(k,x)
Keine Symmetrie erkennbar
(3) Grenzverhalten:
(4) Monotonie:
1.Ableitung von f(x)
=> D(k) > 0 für alle k!
Sei xe0 < xe1:
f2 ist monoton zunehmend in R \ ] xe0 ; xe1 [
f2 ist monoton abnehmend in [ xe0 ; xe1 ]
(5) Extrempunkte:
Aus (4) => Das linke (xe0) Extremum ist ein Max (steigen -> fallen), das rechte (xe1) ein Min (fallen -> steigen)
(6) Krümmungsverhalten:
2. Ableitung:
f2 ist konvex (rechtsgekr.) für
und konkav (links) für
(7) Wendepunkte:
Aus (6) oder
> 0, also existiert der WP
(8) Wertetabelle, Graph:
