MK 4.6.2003 Kurvendisk_Pol_Ueb_6.mcd
Übungen zur Kurvendiskussion (6)
Aufgaben:
Diskutieren Sie die folgenden Funktionen vollständig.
(1)
mit c
R
(1) Grenzverhalten
(2) Nullstellen und ihre Art
(3) Symmetrie
(4) Monotoniebereiche
(5) Extrempunkte und ihre Art
(6) Krümmungsverhalten
(7) Wendepunkte
(8) Wertetabelle, Graph für c = 2
(2)
mit p
R \ { 0 }
(1) Grenzverhalten
(2) Nullstellen und ihre Art
(3) Symmetrie
Setzen Sie nun
(4) Monotoniebereiche
(5) Extrempunkte und ihre Art
(6) Krümmungsverhalten
(7) Wendepunkte
(8) Wertetabelle, Graph
Lösungen:
(1)
mit k
R
(1) Grenzverhalten:
(2) Nullstellen:
1. Fall: D < 0
keine weiteren Lösungen
2. Fall: D = 0
ist BP
3. Fall: D > 0
ist SP
ist SP
Linearfaktorzerlegung
Falls c = 2 gibt es bei 2 einen dreifachen SP (Terrassenpunkt)
Dieser Fall existiert nicht
(3) Symmetrie:
Wegen der Nullstellen => Keine Symmetrie
(4) Monotoniebereiche:
(Da mind. dopplete NS)
1. Fall:
=> Keine weiteren Nullstellen, es bleibt beim SP bei 2
=> fc ist s m wachsend für x
]
; 2 ] und s m abnemend für x
[ 2;
[
2. Fall:
=> Eine weitere doppelte Nullstelle (BP) bei
und der SP bei 2
=> fc ist s m wachsend für x
]
; 2 ] und s m abnemend für x
[ 2;
[
3. Fall:
=> Zwei weitere Nullstellen (SP) bei
und der SP bei 2
Für x = 2 gibt es einen BP bei 2
Dieser Fall existiert nicht
=> Für c = 2 ist fc ist s m wachsend für x
]
;
] und s m abnemend für x
[ -0.25;
[
=> Für
ist fc ist s m wachsend für x
]
; 1.NS ] und s m abnemend für x
[ 1. NS; 2.NS]
und s m wachsend für x
[ 2. NS; 3.NS ] und s m abnemend für x
[ 3. NS;
[
(5) Extrempunkte:
1. Fall:
=> steigen dann fallen => Maximum bei 2
2. Fall:
=> steigen dann fallen => Maximum bei 2 (und ein Terrassenpunkt bei
)
3. Fall:
=> Für c = 2 => steigen dann fallen => Maximum bei -0.25
=> Für
=> Max bei 1.NS, Min bei 2.NS, Max bei 3.NS
(6) Krümmungsverhalten:
1. Fall:
=> Keine NS, also ist der Graph konvex (rechtsgekrümmt) in R.
2. Fall:
=> Nur BP, also ist der Graph konvex (rechtsgekrümmt) in R.
3. Fall:
=> Nach unten öffnende Parabel, 2 NS.
Also ist der Graph konvex (rechtsgekrümmt) für x
]
; 1.NS ] und konkav für x
[ 1. NS; 2.NS]
und wieder konvex für x
[ 2. NS;
[ .
(7) Wendepunkte:
Vorzeichenwechsel bei der 1. NS => Wendepunkt
Vorzeichenwechsel bei der 2. NS => Wendepunkt
Nur für
existieren Wendepunkte, siehe Krümmung
(8) Wertetabelle, Graph:
FRAME von 0 bis 900, 50 Bilder/s, somit läuft c von -2 bis 7
(2)
mit p
R \ { 0 }
(1) Grenzverhalten:
(2) Nullstellen:
=
=
D > 0 => zwei NS
Linearfaktorzerlegung
Es gibt einen SP und einen BP bei 3, falls
oder falls
,
es existiert ein SP ein BP bei 0 für
.
Für alle anderen Werte von p gibt es drei SP.
(3) Symmetrie:
Aus den Nullstellen ersichtlich: Die Funktion kann nicht symmetrisch sein.
Setzen Sie nun
nach unten geöffnete Parabel
(4) Monotoniebereiche:
Grundsätzlicher Verlauf:
1. NS: Wechsel - dann +
=> gp ist sm abnehmend für
2. NS: Wechsel + dann -
=> gp ist sm zunehmend für
=> gp ist sm abnehmend für
(5) Extrempunkte:
Aus der Monotonie:
fallen dann steigen bei 1.NS => Minimum
steigen dann fallen bei 2.NS => Maximum
(6) Krümmungsverhalten:
=> NS bei x = 2 mit VZW, grundsätzlicher Verlauf:
NS: Wechsel + dann -
=> fk ist konkav (rechts)) für
=> fk ist konvex (links) für für
(7) Wendepunkte:
Aus der Krümmung:
Vorzeichenwechsel bei der NS => Wendepunkt bei x = 2
(8) Wertetabelle, Graph:
