GS - 24.10.05 - potenz_01_Parabeln.mcd
Potenzfunktionen
- Parabeln n-ter Ordnung -
1. Zuordnungsvorschrift:
Definition: Eine Funktion
mit x
IR und n
IN heißt Potenzfunktion vom Grade n.
Da bei den ganzrationalen Funktionen vor der höchsten Potenz xn auch ein negativer Koeffizient a stehen kann, werden Funktionen mit der Zuordnungsvorschrift
betrachtet.
2. Graphische Darstellung:
Wähle:
a = 1 oder a = -1
n = 2 oder n = 3
Funktionsterme:
Eigenschaften:
Verhalten für
:
Verhalten im Unendlichen
Entfernt man sich auf der x-Achse beliebig weit vom Koordinatenursprung, so hat man dafür die symbolische Schreibweise:
x -->
bedeutet: x geht beliebig weit nach rechts, d.h. x wird beliebig groß in positiver Richtung.
x -->
bedeutet: x geht beliebig weit nach links, d.h. x wird beliebig groß in negativer Richtung.
Entsprechendes gilt für die Funktionswerte:
f(x) -->
bedeutet: f(x) geht beliebig weit nach oben, d.h. f(x) wird beliebig groß in positiver Richtung.
f(x) -->
bedeutet: x geht beliebig weit nach unten, d.h. f(x) wird beliebig groß in negativer Richtung.
Um diese Werte charakterisieren zu können, benutzt man das "Limes-Symbol" :
für wachsendes x:
bzw. für kleiner werdendes x:
Bemerkung: Der "Limes" ist eine Grenzbefestigung aus der Römerzeit. Die Mathematiker haben das Wort Limes für den Begriff Genzwert übernommen.
3. Eigenschaften der Funktionsgraphen:
3.1 Koeffizient a > 0:
gerader Exponent (Index "g"):
ungerader Exponent (Index "u"):
Symmetrie
Achsensymmetrie zur y-Achse.
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung.
Monotonie
Gf ist streng monoton fallend für
und
Gf ist streng monoton steigend für
.
Gf ist streng monoton steigend für x
IR .
Verhalten der Funktionswerte für wachsende Werte von IxI
3.2 Koeffizient a < 0:
gerader Exponent (Index "g"):
ungerader Exponent (Index "u"):
Symmetrie
Achsensymmetrie zur y-Achse.
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung.
Monotonie
Gf ist streng monoton steigend für
und
Gf ist streng monoton fallend für
.
Gf ist streng monoton fallend für x
IR .
Verhalten der Funktionswerte für wachsende Werte von IxI
