GS - 23.10.05 - potenz_02_Hyperbeln.mcd
Potenzfunktionen mit negativem Exponenten
 - Hyperbeln -
1. Zuordnungsvorschrift:
Definition: Eine Funktion mit x IR und n IN heißt Potenzfunktion vom Grade n.
Schreibweise für negative Exponenten:
Da nun beim Funktionsterm x im Nenner steht, dürfen nicht mehr alle x-Werte eingesetzt werden.
 Vor dem x-Term kann ein negativer Koeffizient a stehen. Deshalb:
Allgemeine Zuordnungsvorschrift: Definitionsmenge: ID = IR \ {0} :
2. Graphische Darstellung:
Die Stelle darf als Definitionslücke nicht eingesetzt werden, deshalb untersucht man das ...
Verhalten der Funktionswerte bei Annäherung an die Definitionslücke x0
Nähert man sich der Definitionslücke beliebig an, so hat man dafür die symbolische Schreibweise:
x --> + bedeutet: x nähert sich von rechts.
x --> - bedeutet: x nähert sich von links.
Um diese Werte charakterisieren zu können, benutzt man auch hier das "Limes-Symbol" :
für die linksseite Ännäherung: und für die rechtsseite Ännäherung:
Wähle:
a = 1 oder a = -1
n = 1 oder n = 2
Funktionsterme:
Eigenschaften:
Verhalten an der Definitionslücke:
Verhalten für :
Ergebnis 1:
Die Funktionswerte nähern sich bei allen möglichen Hyperbeln für der x-Achse an,
Man sagt, sie besitzen einen Grenzwert.
Ergebnis 2:
Der Funktionsgraph nähert sich für bei allen möglichen Hyperbeln der y-Achse beliebig an.
Die Funktionswerte wachsen bei Annäherung an die Definitionslücke x0 über alle Grenzen.
Bezeichnung:
Eine Gerade, der sich eine Kurve f beliebig annähert, ohne sie jedoch zu berühren, heißt Asymptote des Graphen der Funktion f. (Aus dem Griechischen: nicht zusammenfallend)
Folgerung 1: Die x-Achse ist also horizontale Asymptote für die Hyperbeln .
Folgerung 2: Die y-Achse ist also vertikale Asymptote für die Hyperbeln .
3. Eigenschaften der Funktionsgraphen:
3.1 Koeffizient a > 0:
gerader Exponent (Index "g"):
ungerader Exponent (Index "u"):
Symmetrie
Achsensymmetrie zur y-Achse.
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung.
Monotonie
Gf ist streng monoton steigend für und
Gf ist streng monoton fallend für .
Gf ist streng monoton fallend für und
Gf ist streng monoton fallend für .
Verhalten der Funktionswerte für wachsende Werte von IxI
Verhalten der Funktionswerte bei Annäherung an die Definitionslücke x0
Annäherung von links:
Annäherung von links:
Annäherung von rechts:
Annäherung von rechts:
3.2 Koeffizient a < 0:
gerader Exponent (Index "g"):
ungerader Exponent (Index "u"):
Symmetrie
Achsensymmetrie zur y-Achse.
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung.
Monotonie
Gf ist streng monoton fallend für und
Gf ist streng monoton steigend für .
Gf ist streng monoton steigend für und
Gf ist streng monoton fallend für .
Verhalten der Funktionswerte für wachsende Werte von IxI
Verhalten der Funktionswerte bei Annäherung an die Definitionslücke x0
Annäherung von links:
Annäherung von links:
Annäherung von rechts:
Annäherung von rechts:
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