GS - 23.08.05 - c1_hoehereGl.mcd
Gleichungen höheren Grades
Definition:
Eine Gleichung der Form mit der Definitionsmenge ID IR und
heißt "Gleichung n-ten Grades".

Schreibweise: + . . . +
Allgemeine Lösung:
Durch Abspaltung von möglichst vielen Linearfaktoren wird der Grad der Gleichung bis zum
Exponenten erniedrigt, dann Anwendung der Mitternachtsformel.
  
. . . .
1. Möglichkeit: "Reine" Gleichung höheren Grades

Lösung durch Ziehen der n-ten Wurzel.
1. Fall: n gerade und und
  
2. Fall: n gerade und Gleichung besitzt keine Lösung in IR
3. Fall: n ungerade und (nur eine Lösung!)
4. Fall: n ungerade und (nur eine Lösung!)
2. Möglichkeit: Erzeugung der Linearfaktoren durch Ausklammern

oder oder usw.
Ausklammern der höchstmöglichen Potenz von x und Produkt gleich Null.

z.B. bei einer Gleichung 4. Grades: speziell:


3. Möglichkeit: Gleichung besitzt eine ganzzahlige Lösung

Polynomdivision ohne Rest
z. B. bei einer Gleichung 3. Grades:
ist Lösung ist durch teilbar.
Es gilt: :
4. Möglichkeit: Biquadratische Gleichungen

1. Fall:
Substitution
Lösung der quadratischen Gleichung und Resubstituition liefert die
reinquadratischen Gleichungen:     
und
     Auflösen durch Wurzelziehen, sofern bzw. .
              Lösungen:    
; ; ; ;
1. Fall:
Substitution
Lösung der quadratischen Gleichung und Resubstituition liefert die
              reinen kubischen Gleichungen:    
und
                  Auflösen durch Wurzelziehen.
Lösungen: bzw.
           
bzw.
5. Möglichkeit: Gleichung besitzt keine ganzzahlige Lösung und ist nicht biquadratisch

numerische Verfahren, z.B.
Tangentenverfahren (Newton'sche Näherung), Sekantenverfahren (Regula Falsi),
       
Intervallhalbierung, usw.
Beispiele dazu siehe auf den nächsten Seiten.
Aufgabe 1:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
ID = IR
Lösungsweg: Auflösen nach und 4. Wurzel ziehen.
IL = { ; }
Lösung:
Lösung
Lösung
keine Lösung in IR
keine Lösung in IR
Teilaufgabe b)
Darstellung der Gleichung mit Funktionen:
Linke Funktion:
Rechte Funktion:
Differenzfunktion:
Bestimme diejenigen x-Werte, für die gilt:
Graphische Lösung der Gleichung:
Aufgabe 2:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
ID = IR
Lösung: Gleichung besitzt keine Lösung in IR.
IL = { }
Teilaufgabe b)
Darstellung der Gleichung mit Funktionen:
Linke Funktion:
Rechte Funktion:
Differenzfunktion:
besitzt keine Nullstellen
Aufgabe 3:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
ID = IR
Lösungsweg: Auflösen nach und 3. Wurzel ziehen.
IL = { }
Lösung:
Lösung
keine Lösung in IR
keine Lösung in IR
Teilaufgabe b)
Darstellung der Gleichung mit Funktionen:
Linke Funktion:
Rechte Funktion:
Differenzfunktion:
Bestimme diejenigen x-Werte, für die gilt:
Aufgabe 4:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
ID = IR
Lösungsweg: Auflösen nach und 3. Wurzel ziehen.
Bemerkung:
IL = { }
Lösung:
Lösung
keine Lösung in IR
keine Lösung in IR
Teilaufgabe b)
Darstellung der Gleichung mit Funktionen:
Linke Funktion:
Rechte Funktion:
Differenzfunktion:
Aufgabe 5:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
ID = IR
Lösungsweg: Polynomdivision ohne Rest.
Lösung:
Definition der Polynomfunktion:
1. Lösung wird geraten, und zwar probiert man nur die Teiler von 120:
keine Lösung
Lösung
Polynomdivision:
in Partialbrüche zerlegt, ergibt
Lösung der quadratischen Gleichung:
Mathcad - Lösung:
IL = { ; ; }
Teilaufgabe b)
Graphische Lösung der Gleichung:
Aufgabe 6:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
ID = IR
Lösungsweg: Polynomdivision ohne Rest.
Lösung:
Definition der Polynomfunktion:
1. Lösung wird geraten, und zwar probiert man nur die Teiler von 40.
keine Lösung
keine Lösung
Lösung
Polynomdivision:
in Partialbrüche zerlegt, ergibt
Lösung der kubischen Gleichung:
Definition der Polynomfunktion:
2. Lösung wird geraten, und zwar probiert man nur die Teiler von 10.
keine Lösung
Lösung
Polynomdivision:
in Partialbrüche zerlegt, ergibt
Lösung der rein quadratischen Gleichung:
Mathcad - Lösung:
IL = { ; ; ; }
Teilaufgabe b)
Graphische Lösung der Gleichung:
Aufgabe 7:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
ID = IR
Lösungsweg: Substitution
Lösung:
Substitution:
Lösung der quadratischen Gleichung:
Resubstitution:
Mathcad - Lösung:
IL = { ; ; ; }
Teilaufgabe b)
Definition der Polynomfunktion:
Graphische Lösung der Gleichung:
Aufgabe 8:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
ID = IR
Lösungsweg: Substitution
Lösung:
Substitution:
Lösung der quadratischen Gleichung:
keine
Lösung
Resubstitution:
Mathcad - Lösung:
Lösung
Lösung
IL = { ; }
keine Lösung
keine Lösung
Teilaufgabe b)
Definition der Polynomfunktion:
Graphische Lösung der Gleichung:
Aufgabe 9:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
ID = IR
Lösungsweg: Substitution
Lösung:
Substitution:
Lösung der quadratischen Gleichung:
Lösung
keine Lösung
Resubstitution 1:
keine Lösung
Lösung
Resubstitution 2:
keine Lösung
keine Lösung
Mathcad - Lösung:
Lösung
IL = { ; }
Lösung
keine Lösung
keine Lösung
keine Lösung
keine Lösung
Teilaufgabe b)
Definition der Polynomfunktion:
Graphische Lösung der Gleichung:
Aufgabe 10:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
ID = IR
Lösungsweg: Newton'sches Verfahren (Formelsammlung Seite 20):
Ist ein Näherungswert für die Nullstelle von , so ist

ein neuer, im allgemeinen besserer Näherungswert.
Lösung:
Polynomfunktion:
1. Ableitung:
Funktionswerte:
Lösung im Intervall ] ; [
Startwert:
1. Näherung:
2. Näherung:
3. Näherung:
4. Näherung:
Mathcad - Lösung:
Lösung
keine Lösung
keine Lösung
Teilaufgabe b)
Definition der Polynomfunktion:
Graphische Lösung der Gleichung: