EL / GS - 23.08.05 - d1_Bruchgl.mcd
Bruchgleichungen
Definition:
Eine Gleichung, bei der eine Variable x auch im Nenner vorkommt, ohne dass man sie
kürzen kann, heißt Bruchgleichung. 
Bezeichnung: Gleichungen, die die gleiche Lösungsmenge haben, heißen äquivalent.
Bestimmung der Lösungsmenge:
Man löst eine Bruchgleichung, indem man die Definitionsmenge bestimmt (Nenner ungleich
Null), die Gleichung mit dem Hauptnenner multipliziert und die so entstehende Gleichung
löst.  
Definition:
Eine Gleichung mit a,b,c,d IR und heißt lineare Bruchgleichung.
Bestimmung der Lösungsmenge:
(1) Man löst die Bruchgleichung , indem man die Definitionsmenge ID = IR \ { } bestimmt, die Gleichung mit dem Hauptnenner multipliziert und die so ent-
stehende Gleichung       
löst.
(2) Man löst die Bruchgleichung (k = Konstante), indem man die Definitions-
menge ID = IR \ {      
} bestimmt und die Bruchgleichung in die Form bringt.

Die linke Seite wird sodann auf den Hauptnenner gebracht, beide Terme zusammenge-
fasst und die neue Gleichung        
nach Schema (1) gelöst.
Beispiele dazu siehe auf den nächsten Seiten.
Aufgabe 1:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
ID = IR \ { }
Lösung:
IL = { }
Durch Multiplizieren mit dem Nenner Umformung der Bruchgleichung in eine lineare Gleichung:
Teilaufgabe b)
Darstellung der Gleichung mit Funktionen:
linke Funktion:
rechte Funktion:
Differenzfunktion:
Bestimme diejenigen x-Werte, für die gilt:
Graphische Lösung der Gleichung:
Aufgabe 2:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
ID = IR \ { 2 ; 4 }
Lösung:
IL = { 5 }
Durch Multiplizieren mit dem Hauptenner Umformung der Bruchgleichung in eine lineare Gleichung:
Teilaufgabe b)
Darstellung der Gleichung mit Funktionen:
linke Funktion:
rechte Funktion:
Differenzfunktion:
Bestimme diejenigen x-Werte, für die gilt:
Graphische Lösung der Gleichung:
Aufgabe 3:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
ID = IR \ { ; 2 }
Lösung:
IL = { 0 }
Durch Multilpizieren mit dem Hauptnenner Umformung der Bruchgleichung in eine lineare Gleichung:
Teilaufgabe b)
Darstellung der Gleichung mit Funktionen:
linke Funktion:
rechte Funktion:
Differenzfunktion:
Bestimme diejenigen x-Werte, für die gilt:
Graphische Lösung der Gleichung:
Aufgabe 4:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
ID = IR \ { ; 3 }
Lösung:
IL = ID
Durch Multilpizieren mit dem Hauptnenner Umformung der Bruchgleichung in eine lineare Gleichung:
also eine Identität
Teilaufgabe b)
Darstellung der Gleichung mit Funktionen:
linke Funktion:
rechte Funktion:
Differenzfunktion:
Bestimme diejenigen x-Werte, für die gilt:
Graphische Lösung der Gleichung:
Aufgabe 5:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
ID = IR\ { ; 0 ; 1}
Lösung:
IL = { }
Durch Multilpizieren mit dem Hauptnenner Umformung der Bruchgleichung in eine quadratische
Gleichung:
Teilaufgabe b)
Darstellung der Gleichung mit Funktionen:
linke Funktion:
rechte Funktion:
Differenzfunktion:
Graphische Lösung der Gleichung: