GS - 23.08.05 - f1_expGl.mcd
Exponentialgleichungen
Definition:
Eine Gleichung der Form mit a IR+ und b IR+ \ {1} heißt Exponentialgleichung.
Definition:
Die Lösung der Eponentialgleichung heißt "Logarithmus von a zur Basis b".

  
Schreibweise:
Besondere Basen:
Basis heißt "Dekadischer Logarithmus":
Basis heißt "Natürlicher Logarithmus": Basis heißt "Zweier - Logarithmus":
Bestimmung der Lösungen: Zur Anwendung kommen die
- Potenzgesetze: FS Seite 15 / C
- Monotoniegesetze für Potenzen: FS Seite 16 / B
- Rechengesetze für Logarithmen: FS Seite 16 / B
- Basisumrechnung in die "Taschenrechnerbasen" 10 bzw. e: FS Seite 16 / C
Lösung:
(1) Bringe die Exponentialgleichung mit den Potenzrechenregeln auf die Form
und löse nach x auf:
(2) Stelle beide Seiten der Exponentialgleichung als Potenz derselben Basis dar und löse
dann durch Gleichsetzen der Exponenten beider Seiten.
Beispiele dazu siehe auf den nächsten Seiten.
Aufgabe 1:
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
ID = IR
Lösungsweg: Logarithmieren und Basis umrechnen.
Lösung:
IL = { }
Teilaufgabe b)
Darstellung der Gleichung mit Funktionen:
Linke Funktion:
Rechte Funktion:
Differenzfunktion:
Bestimme diejenigen x-Werte, für die gilt:
Graphische Lösung der Gleichung:
Aufgabe 2:
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
ID = IR
Lösungsweg : Substitution des Exponenten , Logarithmieren und Basis um-
rechnen, Resubstitution und nach x auflösen.
Lösung:
IL = { }
Teilaufgabe b)
Darstellung der Gleichung mit Funktionen:
Linke Funktion:
Rechte Funktion:
Differenzfunktion:
Bestimme diejenigen x-Werte, für die gilt:
Graphische Lösung der Gleichung:
Aufgabe 3:
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
ID = IR
Lösungsansatz: Substitution des Terms , quadratische Gleichung lösen,
              Resubstitution und nach x auflösen            
keine Lösung
Lösung:
IL = { }
Lösung
Teilaufgabe b)
Darstellung der Gleichung mit Funktionen:
Linke Funktion:
Rechte Funktion:
Differenzfunktion:
Bestimme diejenigen x-Werte, für die gilt:
Graphische Lösung der Gleichung:
Aufgabe 4:
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
ID = IR
Lösungsansatz: Substitution des Terms , gleichartige Terme zusammenfassen,
              quadratische Gleichung lösen, Resubstitution und nach x auflösen            
Lösung:
IL = { ; 1 }
Teilaufgabe b)
Darstellung der Gleichung mit Funktionen:
Linke Funktion:
Rechte Funktion:
Differenzfunktion:
Bestimme diejenigen x-Werte, für die gilt:
Graphische Lösung der Gleichung:
Aufgabe 5:
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
ID = IR
Lösungsansatz: Aufspalten der Potenzen , x-Potenz und Zahlenpotenz separieren ,
              Logarithmieren und Basis umrechnen.             
Lösung:
IL = { }
Aufspalten:
erweitert auf
Separieren:
Logarithmieren:
Teilaufgabe b)
Darstellung der Gleichung mit Funktionen:
Linke Funktion:
Rechte Funktion:
Differenzfunktion:
Bestimme diejenigen x-Werte, für die gilt:
Graphische Lösung der Gleichung: Variante A
Darstellung der Gleichung mit Funktionen: Variante B
Linke Funktion:
Rechte Funktion:
Differenzfunktion:
Bestimme diejenigen x-Werte, für die gilt:
Graphische Lösung der Gleichung: Variante B