GS - 23.08.05 - f1_expGl.mcd
Exponentialgleichungen
Definition:
Eine Gleichung der Form
mit a
IR+ und b
IR+ \ {1} heißt Exponentialgleichung.
Definition:
Die Lösung der Eponentialgleichung
heißt "Logarithmus von a zur Basis b".
Schreibweise:
Besondere Basen:
Basis
heißt "Dekadischer Logarithmus":
Basis
heißt "Natürlicher Logarithmus":
Basis
heißt "Zweier - Logarithmus":
Bestimmung der Lösungen: Zur Anwendung kommen die
- Potenzgesetze: FS Seite 15 / C
- Monotoniegesetze für Potenzen: FS Seite 16 / B
- Rechengesetze für Logarithmen: FS Seite 16 / B
- Basisumrechnung in die "Taschenrechnerbasen" 10 bzw. e: FS Seite 16 / C
Lösung:
(1) Bringe die Exponentialgleichung mit den Potenzrechenregeln auf die Form
und löse nach x auf:
(2) Stelle beide Seiten der Exponentialgleichung als Potenz derselben Basis dar und löse
dann durch Gleichsetzen der Exponenten beider Seiten.
Beispiele dazu siehe auf den nächsten Seiten.
Aufgabe 1:
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
ID = IR
Lösungsweg: Logarithmieren und Basis umrechnen.
Lösung:
IL = {
}
Teilaufgabe b)
Darstellung der Gleichung mit Funktionen:
Linke Funktion:
Rechte Funktion:
Differenzfunktion:
Bestimme diejenigen x-Werte, für die gilt:
Graphische Lösung der Gleichung:
Aufgabe 2:
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
ID = IR
Lösungsweg : Substitution des Exponenten
, Logarithmieren und Basis um-
rechnen, Resubstitution und nach x auflösen.
Lösung:
IL = {
}
Teilaufgabe b)
Darstellung der Gleichung mit Funktionen:
Linke Funktion:
Rechte Funktion:
Differenzfunktion:
Bestimme diejenigen x-Werte, für die gilt:
Graphische Lösung der Gleichung:
Aufgabe 3:
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
ID = IR
Lösungsansatz: Substitution des Terms
, quadratische Gleichung lösen,
Resubstitution und nach x auflösen
keine Lösung
Lösung:
IL = {
}
Lösung
Teilaufgabe b)
Darstellung der Gleichung mit Funktionen:
Linke Funktion:
Rechte Funktion:
Differenzfunktion:
Bestimme diejenigen x-Werte, für die gilt:
Graphische Lösung der Gleichung:
Aufgabe 4:
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
ID = IR
Lösungsansatz: Substitution des Terms
, gleichartige Terme zusammenfassen,
quadratische Gleichung lösen, Resubstitution und nach x auflösen
Lösung:
IL = {
; 1 }
Teilaufgabe b)
Darstellung der Gleichung mit Funktionen:
Linke Funktion:
Rechte Funktion:
Differenzfunktion:
Bestimme diejenigen x-Werte, für die gilt:
Graphische Lösung der Gleichung:
Aufgabe 5:
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
ID = IR
Lösungsansatz: Aufspalten der Potenzen , x-Potenz und Zahlenpotenz separieren ,
Logarithmieren und Basis umrechnen.
Lösung:
IL = {
}
Aufspalten:
erweitert auf
Separieren:
Logarithmieren:
Teilaufgabe b)
Darstellung der Gleichung mit Funktionen:
Linke Funktion:
Rechte Funktion:
Differenzfunktion:
Bestimme diejenigen x-Werte, für die gilt:
Graphische Lösung der Gleichung: Variante A
Darstellung der Gleichung mit Funktionen: Variante B
Linke Funktion:
Rechte Funktion:
Differenzfunktion:
Bestimme diejenigen x-Werte, für die gilt:
Graphische Lösung der Gleichung: Variante B