GS - 23.08.05 - h1_Betragsgl.mcd

Betragsgleichungen

Definition:

Betrag einer Zahl:


Betrag eines Terms:

Anschaulich kann man unter die Maßzahl des Abstandes der Zahl a vom Nullpunkt der Zahlengeraden verstehen.

Anschaulich kann man unter den Abstand zwischen den Zahlen a und b verstehen.

Kommen in einer Gleichung oder Ungleichung Betragsterme vor, so müssen diese mit Hilfe
einer Fallunterscheidung erst aufgelöst werden, bevor die endgültige Gleichung oder
Ungleichung gelöst werden kann.    

Beispiele dazu siehe auf den nächsten Seiten.

Aufgabe 1:
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen

Teilaufgabe a)

Gleichung:

ID = IR

Lösungsweg: Auflösen des Betrags. Lösen der linearen Gleichung.

Lösung:

1. Fall:

IL₁ = { }

2. Fall:

IL₂ = { }

IL = IL₁ IL₂ = { ; }

Teilaufgabe b)

Darstellung der Gleichung mit Funktionen:

Linke Funktion:

Rechte Funktion:

Differenzfunktionen:

Graphische Lösung der Gleichung:

Aufgabe 2:
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen

Teilaufgabe a)

Gleichung:

ID = IR

Lösungsweg: Auflösen des Betrags. Lösen der linearen Gleichung.

Lösung:

1. Fall:

IL₁ = { }

2. Fall:

IL₂ = { }

IL = IL₁ IL₂ = { ; }

Teilaufgabe b)

Darstellung der Gleichung mit Funktionen:

Linke Funktion:

Rechte Funktion:

Differenzfunktionen:

Graphische Lösung der Gleichung:

Aufgabe 3:
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen

Teilaufgabe a)

Gleichung:

ID = IR

Lösungsweg: Auflösen der beiden Beträge. Lösen der lin. Gleichung mit Fallunterscheidung.

Lösung:

1. Fall:

und

IL₁ = { 3 }

2. Fall:

und

IL₂ = { }

3. Fall:

und

IL₃ = { }

4. Fall:

und

IL = IL₁ IL₂ IL₃ = { ; 3 }

Teilaufgabe b)

Darstellung der Gleichung mit Funktionen:

Linke Funktion:

Rechte Funktion:

Graphische Lösung der Gleichung:

Aufgabe 4:
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen

Teilaufgabe a)

Gleichung:

ID = IR \ { }

Lösungsweg: Auflösen des Betrags. Lösen der Bruchgleichung mit Fallunterscheidung.

Lösung:

1. Fall:

IL₁ = { }

2. Fall:

IL₂ = { }

IL = IL₁ IL₂ = { ; }

Teilaufgabe b)

Darstellung der Gleichung mit Funktionen:

Linke Funktion:

Rechte Funktion:

Graphische Lösung der Gleichung:

Aufgabe 5:
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen

Teilaufgabe a)

Gleichung:

ID = IR

Lösungsweg: Auflösen des Betrags mit Fallunterscheidung. Lösen der quadratischen
              Gleichungen.
                                  

Lösung:

1. Fall:

IL₁ = { ; }

2. Fall:

IL₂ = { ; }

IL = IL₁ IL₂ = { ; ; 2 ; }

Teilaufgabe b)

Darstellung der Gleichung mit Funktionen:

Linke Funktion:

Rechte Funktion:

Graphische Lösung der Gleichung:

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