MK 2.8.2003Grenzwert_gegen_x0.mcd
Nach Lehrplan ist die e-d-Methode nicht zwingend vorgeschrieben
Grenzwerte gegen einen festen Wert x0
Bsp.:
D = R \ { 0 }
Die Funktion hat an der Stelle x = 0 eine Definitionslücke.
Welche Werte nimmt die Funktion unmittelbar daneben an?
Die Funktion nähert sich dem
Wert y =1 beliebig nahe
für x --> 0
Es gilt
mit D = R \ { 0 }
Für ein beliebiges e>0 gilt:
=>
Also gilt für alle x Ue/2(0) ohne 0 selbst:
Def.:
Unter einer punktierten s - Umgebung einer Zahl x0 R versteht man für ein beliebiges
s > 0 die Menge U*e(x0) = Ue(x0) \ { x0 }
Def.:
Eine Funktion y = f(x) mit x D, die für jedes s > 0 mit U*s(x0) eine nicht leere Menge U*s(x0) D
besitzt, konvergiert für x -> x0 gegen den Grenzwert a,
wenn sich zu jedem e > 0 eine reelle Zahl d > 0 so bestimmen lässt, dass
für x U*d(x0) D gilt f (x) Ue(a)
Schreibweise:
gtx/Grenzwert_gegen_x0.gxt